中考数学二轮培优 模型 方法 技巧突破专题3-3 二次函数面积定值、比例问题以及米勒角问题（原卷版）.doc

专题3-3二次函数面积定值、比例问题以及米勒角问题

TOC\o1-4\n\h\z\u【题型1】作铅垂高解决面积定值问题

例1－1湖北武汉市·中考真题

2023·齐齐哈尔·中考真题（删减）

南通·中考真题

2023·山东泰安·中考真题

【题型2】作平行线解决面积问题

例2－1山东省临沂市·中考真题

2023·四川甘孜·中考真题

四川凉山州·中考真题

连云港·中考真题

2023·黑龙江·中考真题

江苏徐州·中考真题

【题型3】面积比例问题的转化定值问题或函数表达式

例3－1内蒙古通辽市·中考真题

2023·辽宁盘锦·中考真题

2022·福建·统考模拟预测

【题型4】面积比例问题的转化为线段比

例4－1

深圳市中考真题

牡丹江中考真题

2022·四川内江中考真题

2023·四川泸州中考真题

2022·四川内江中考真题

【题型5】米勒角（最大张角问题）

例题5-1

山东烟台中考真题

2023·四川宜宾中考真题

一、面积定值与等值问题

1.定值问题

【问题描述】

如图，抛物线与x轴交于A、B两点（点A在点B左侧），与y轴交于点C，连接BC，抛物线在线段BC上方部分取一点P，连接PB、PC，若△PBC面积为3，求点P坐标．

思路1：铅垂法列方程解．

根据B、C两点坐标得直线BC解析式：y=-x+3，设点P坐标为，

过点P作PQ⊥x轴交BC于点Q，则点Q坐标为（m，-m+3），

，，分类讨论去绝对值解方程即可得m的值．

思路2：构造等积变形

同底等高三角形面积相等．

取BC作水平宽可知水平宽为3，根据△PBC面积为3，可知铅垂高为2，

在y轴上取点Q使得CQ=2，过点Q作BC的平行线，交点即为满足条件的P点．

当点Q坐标为（0,5）时，PQ解析式为：y=-x+5，联立方程：，解之即可．

当点Q坐标为（0,1）时，PQ解析式为：y=-x+1，联立方程：，解之即可．

2.等值问题

【问题描述】

如图，抛物线与x轴交于A、B两点（点A在点B左侧），与y轴交于点C，连接BC，抛物线上存在一点P使得△PBC的面积等于△BOC的面积，求点P坐标．

思路1：铅垂法

计算出△BOC面积，将“等积问题”转化为“定积问题”，用铅垂法可解．

思路2：构造等积变形

过点O作BC的平行线，与抛物线交点即为所求P点，

另外作点O关于点C的对称点M，过点M作BC平行线与抛物线的交点亦为所求P点．

先求直线解析式，再联立方程即可求得P点坐标．

二、面积比例问题

1、方法突破

除了三角形、四边形面积计算之外，面积比例也是中考题中常见的条件或结论，对面积比例的分析，往往比求面积要复杂得多，这也算是面积问题中最难的一类．

大部分题目的处理方法可以总结为两种：（1）计算；（2）转化．

策略一：运用比例计算类

策略二：转化面积比

如图，B、D、C三点共线，考虑△ABD和△ACD面积之比．

转化为底：共高，面积之比化为底边之比：则．

更一般地，对于共边的两三角形△ABD和△ACD，连接BC，与AD交于点E，则．

策略三：进阶版转化

在有些问题中，高或底边并不容易表示，所以还需在此基础上进一步转化为其他线段比值，比如常见有：“A”字型线段比、“8”字型线段比．

“A”字型线段比：．

“8”字型线段比：．

转化为垂线：共底，面积之比化为高之比：．

总结：面积能算那就算，算不出来就转换；底边不行就作高，还有垂线和平行．

三、米勒角问题（最大张角）

【问题描述】

1471年，德国数学家米勒向诺德尔提出这样一个问题：

如图，点A、B直线l的同一侧，在直线l上取一点P，使得∠APB最大，求P点位置．

【问题铺垫】

圆外角：如图，像∠APB这样顶点在圆外，两边和圆相交的角叫圆外角．

相关结论：圆外角等于这个角所夹两条弧的度数差（大减小）的一半．

如图，．

换句话说，对同一个圆而言，圆周角圆外角．

【问题解决】

结论：当点P不与A、B共线时，作△PAB的外接圆，当圆与直线l相切时，∠APB最大．

证明：在直线l上任取一点M（不与点P重合），连接AM、BM，

∠AMB即为圆O的圆外角，

∴∠APB∠AMB，∠APB最大．

∴当圆与直线l相切时，∠APB最大．

特别地，若点A、B与P分别在一个角的两边，如下图，则有．（切割线定理）

证明：∵∠POA=∠BOP，∠OPA=∠OBP（弦切角定理）

∴△AOP∽△POB，∴，∴．

即可通过OA、OB线段长确定OP长，便知P点位置．

【题型1】作铅垂高解决面积定值问题

例1－1湖北武汉市·中考真题

抛物线L：经过点A（0，1），与它的对称轴直线x＝1交于点B．

（1）直接写出抛物线L的解析式；

（2）如图1，过定点的直