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重难点12与圆有关的6种模型
(四点共圆、圆幂定理、垂径定理、定弦定角、定角定高、
阿基米德折弦定理)
目录
TOC\o1-3\n\h\z\u
题型01四点共圆
题型02圆幂定理
题型03垂径定理
题型04定弦定角
题型05定角定高模型(探照灯模型)
题型06阿基米德折弦定理
题型01四点共圆
1.四点共圆的判定
判定方法
图形
证明过程
若四个点到一个定点的距离相等,则这四个点共圆(圆的定义).
适用范围:题目出现共端点,等线段时,可利用圆的定义构造辅助圆.
到定点的距离等于定长的点都在同一个圆上(圆的定义)
若一个四边形的一组对角互补,则这个四边形的四个点共圆.
反证法
若一个四边形的外角等于它的内对角,则这个四边形的四个点共圆.
反证法
同侧共边三角形且公共边所对角相等的四个顶点共圆.
反证法
共斜边的两个直角三角形的四个顶点共圆.
适用范围:双直角三角形共斜边模型.
连接AO、OD
根据直角三角形斜边的中线等于斜边的一半可得AO=BO=CO=DO
∴点A、B、C、D四点共圆
在⊙O中,若弦AB、CD相交于点P,且AP?DP=BP?CP,则A,B,C,D四点共圆(相交弦定理的逆定理)
在△APB和△CPD中
AP?DP=BP?CP
∠3=∠4
∴△APB∽△CPD∴∠1=∠2
则A、B、C、D四点共圆
在⊙O中,若AB、CD两线段延长后相交于点P,且AP?BP=DP?CP,则A,B,C,D四点共圆(割线定理)
在△APC和△DPB中
AP?BP=CP?DP
∠P=∠P∴△APC∽△DPB
∴∠1=∠3而∠2+∠3=180°
∴∠1+∠2=180°
则A、B、C、D四点共圆
若四边形两组对边乘积的和等于对角线的乘积,则四边形的四个顶点共圆(托勒密定理的逆定理).
【扩展】
托勒密定理:圆的内接凸四边形两对对边乘积的和等于两条对角线的乘积.
证明:过点C作CP交BD于P,使∠1=∠2,又∠3=∠4,
∴△ACD∽△BCP.∴ACBC=ADBP,
∵∠1=∠2∴∠1+∠ACP=∠2+∠ACP则∠ACB=∠DCP而∠5=∠6
∴△ACB∽△DCP.∴ACCD=ABDP,
①+②得AC(BP+DP)=AB·CD+AD·BC.即AC·BD=AB·CD+AD·BC
2.四点共圆的性质
1)共圆的四个点所连成同侧共底的两个三角形的顶角相等(如下图1,∠BAC=∠BDC);
2)圆内接四边形的对角互补(如下图2,∠1=∠2);
3)圆内接四边形的外角等于内对角(如下图3,∠1=∠3).
1.(2020·山东东营·东营市实验中学校考三模)如图放置的两个正方形,大正方形ABCD边长为a,小正方形CEFG边长为b(a>b),M在BC边上,且BM=b,连接AM,MF,MF交CG于点P,将△ABM绕点A旋转至△ADN,将△MEF绕点F旋转至△NGF.给出以下五个结论:①∠AND=∠MPC;②CP=b?b2a;③△ABM≌△NGF;④S
A.2 B.3 C.4 D.5
【答案】D
【分析】①根据正方形的性质得到∠BAD=∠ADC=∠B=90°,根据旋转的性质得到∠NAD=∠BAM,∠AND=∠AMB,根据余角的性质得到∠DAM+∠NAD=∠NAD+∠AND=∠AND+∠NAD=90°,等量代换得到∠DAM=∠AND,故①正确;
②根据正方形的性质得到PC∥EF,根据相似三角形的性质得到CP=b?b
③根据旋转的性质得到GN=ME,等量代换得到AB=ME=NG,根据全等三角形的判定定理得到△ABM≌△NGF;故③正确;
④由旋转的性质得到AM=AN,NF=MF,根据全等三角形的性质得到AM=NF,推出四边形AMFN是矩形,根据余角的想知道的∠NAM=90°,推出四边形AMFN是正方形,于是得到S四边形AMFN=AM2=a2+b2;故④正确;
⑤根据正方形的性质得到∠AMP=90°,∠ADP=90°,得到∠ABP+∠ADP=180°,于是推出A,M,P,D四点共圆,故⑤正确.
【详解】解:①∵四边形ABCD是正方形,
∴∠BAD=∠ADC=∠B=90°,
∴∠BAM+∠DAM=90°,
∵将△ABM绕点A旋转至△ADN,
∴∠NAD=∠BAM,∠AND=∠AMB,
∴∠DAM+∠NAD=∠NAD+∠AND=∠AND+∠NAD=90°,
∴∠DAM=∠AND,故①正确;
②∵四边形CEFG是正方形,
∴PC∥EF,
∴△MPC∽△EMF,
∴PCEF
∵大正方形ABCD边长为a,小正方形CEFG边长为b(a>b),BM=b,
∴EF=b,CM=a-b,ME=(a-b)+b=a,
∴PCb
∴CP=b?b
③
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