中考数学二轮复习 重难点12 与圆相关的6种模型（四点共圆、圆幂定理、垂径定理、定弦定角、定角定高、阿基米德折弦定理）（原卷版）.doc

重难点突破12与圆有关的6种模型

（四点共圆、圆幂定理、垂径定理、定弦定角、定角定高、

阿基米德折弦定理）目录

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题型01四点共圆

题型02圆幂定理

题型03垂径定理

题型04定弦定角

题型05定角定高模型（探照灯模型）

题型06阿基米德折弦定理

题型01四点共圆

1.四点共圆的判定

判定方法

图形

证明过程

若四个点到一个定点的距离相等，则这四个点共圆（圆的定义）.

适用范围：题目出现共端点，等线段时，可利用圆的定义构造辅助圆.

到定点的距离等于定长的点都在同一个圆上（圆的定义）

若一个四边形的一组对角互补，则这个四边形的四个点共圆.

反证法

若一个四边形的外角等于它的内对角，则这个四边形的四个点共圆.

反证法

同侧共边三角形且公共边所对角相等的四个顶点共圆.

反证法

共斜边的两个直角三角形的四个顶点共圆.

适用范围：双直角三角形共斜边模型.

连接AO、OD

根据直角三角形斜边的中线等于斜边的一半可得AO=BO=CO=DO

∴点A、B、C、D四点共圆

在⊙O中，若弦AB、CD相交于点P,且AP?DP=BP?CP，则A,B,C,D四点共圆（相交弦定理的逆定理）

在△APB和△CPD中

AP?DP=BP?CP

∠3=∠4

∴△APB∽△CPD∴∠1=∠2

则A、B、C、D四点共圆

在⊙O中，若AB、CD两线段延长后相交于点P,且AP?BP=DP?CP，则A,B,C,D四点共圆（割线定理）

在△APC和△DPB中

AP?BP=CP?DP

∠P=∠P∴△APC∽△DPB

∴∠1=∠3而∠2+∠3=180°

∴∠1+∠2=180°

则A、B、C、D四点共圆

若四边形两组对边乘积的和等于对角线的乘积，则四边形的四个顶点共圆(托勒密定理的逆定理).

【扩展】

托勒密定理：圆的内接凸四边形两对对边乘积的和等于两条对角线的乘积.

证明:过点C作CP交BD于P，使∠1=∠2，又∠3=∠4，

∴△ACD∽△BCP.∴ACBC=ADBP，

∵∠1=∠2∴∠1+∠ACP=∠2+∠ACP则∠ACB=∠DCP而∠5=∠6

∴△ACB∽△DCP.∴ACCD=ABDP，

①+②得AC(BP+DP)=AB·CD+AD·BC.即AC·BD=AB·CD+AD·BC

2.四点共圆的性质

1）共圆的四个点所连成同侧共底的两个三角形的顶角相等（如下图1，∠BAC=∠BDC）；

2）圆内接四边形的对角互补（如下图2，∠1=∠2）；

3)圆内接四边形的外角等于内对角（如下图3，∠1=∠3）.

1．（2020·山东东营·东营市实验中学校考三模）如图放置的两个正方形，大正方形ABCD边长为a，小正方形CEFG边长为b（a＞b），M在BC边上，且BM＝b，连接AM，MF，MF交CG于点P，将△ABM绕点A旋转至△ADN，将△MEF绕点F旋转至△NGF．给出以下五个结论：①∠AND＝∠MPC；②CP=b?b2a；③△ABM≌△NGF；④S

A．2 B．3 C．4 D．5

2．（2023·浙江宁波·校考一模）如图，Rt△ABC中，AB=AC=122，Rt△ADE中，AD=AE=62，直线BD与CE交于P，当∠EAD绕点A任意旋转的过程中，P到直线

3．（2019·浙江嘉兴·统考二模）如图，四边形ABCD中，∠ABC＝∠BCD＝90°，AB＝1，AE⊥AD，交BC于点E，EA平分∠BED．

（1）CD的长是；

（2）当点F是AC中点时，四边形ABCD的周长是．

4．（2021上·山东烟台·九年级统考期中）如图，平面直角坐标系中，点A、B坐标分别为（3，0）、（0，4），点C是x轴正半轴上一点，连接BC．过点A垂直于AB的直线与过点C垂直于BC的直线交于点D，连接BD，则sin∠BDC的值是．

5．（2023下·湖北武汉·九年级校考阶段练习）问题提出??如图1，点E为等腰△ABC内一点，AB=AC，∠BAC=α，将AE绕着点A逆时针旋转α得到AD，求证：△ABE≌△ACD．

尝试应用??如图2，点D为等腰Rt△ABC外一点，AB=AC，BD⊥CD，过点A的直线分别交DB的延长线和CD的延长线于点N，M，求证：S

问题拓展??如图3，△ABC中，AB=AC，点D，E分别在边AC，BC上，∠BDA=∠BEA=60°，AE，BD交于点H．若CE=a，AH=b，直接写出BE的长度（用含a，b的式子）．

6．（2022上·江苏盐城·九年级校考期中）如图，以点P?1,0为圆心的圆，交x轴于B、C两点（B在C的左侧），交y轴于A、D两点（A在D的下方），AD=2，将△ABC绕点P旋转18