2024_2025学年新教材高中数学第1章空间向量与立体几何1.4.2用空间向量研究距离夹角问题第2课时夹角问题课件新人教A版选择性必修第一册.pptx

第一章学习单元41.4.2第2课时夹角问题

学习目标1.理解两异面直线所成角与它们的方向向量之间的关系,会用向量方法求两异面直线所成角.(直观想象、数学运算)2.理解直线与平面所成角与直线方向向量和平面法向量夹角之间的关系,会用向量方法求直线与平面所成角.(逻辑推理、数学运算)3.理解二面角大小与两个面法向量夹角之间的关系,会用向量方法求二面角的大小.(数学运算)

基础落实·必备知识一遍过

知识点1利用向量方法求两条异面直线所成的角若异面直线l1,l2所成的角为θ,其方向向量分别是u,v,则微思考两异面直线所成的夹角能否等同于其方向向量的夹角?提示不等同,两条异面直线所成的夹角的取值范围是(0,];两向量所成的夹角的范围是[0,π].

知识点2利用向量方法求直线与平面所成的角直线与平面所成的角是指这条直线与它在这个平面内的射影所成的角,其范围是直线AB与平面α相交于点B,设直线AB与平面α所成的角为θ,直线AB的方向向量为u,平面α的法向量为n,则sinθ=|cosu,n|

微思考直线与平面所成的角和直线的方向向量与平面的法向量所成的角有怎样的关系?提示设n为平面α的一个法向量,a为直线a的方向向量,直线a与平面α所成的角为θ,则

知识点3利用向量方法求两个平面的夹角1.平面α与平面β的夹角:平面α与平面β相交,形成四个二面角,我们把这四个二面角中不大于90°的二面角称为平面α与平面β的夹角.2.若平面α,β的法向量分别是n1和n2,则平面α与平面β的夹角即为向量n1和n2的夹角或其补角,设平面α与平面β的夹角为θ,则

微思考平面与平面所成的夹角与两平面的法向量所成夹角有何关系?提示两平面的夹角是两法向量的夹角或其补角,注意两平面夹角的取值范围为[0,].

重难探究·能力素养速提升

问题1方向向量的引入,使得直线有了向量表示式.基于此,可否利用向量求两异面直线的夹角?夹角的取值范围是什么?问题2法向量的引入,使得平面也有了向量表示式.类比求两异面直线的夹角,结合直线与平面的夹角、平面与平面的夹角的几何概念,可否利用向量来求直线与平面的夹角以及两个平面的夹角?

探究点一利用向量方法求两异面直线所成角问题3类比平面向量的夹角运算,如何求空间两异面直线的夹角?【例1】如图所示,在三棱柱ABC-A1B1C1中,AA1⊥底面ABC,AB=BC=AA1,∠ABC=90°,E,F分别是棱AB,BB1的中点,试求直线EF和BC1所成的角.

解以B为原点,分别以直线BC,BA,BB1为x轴、y轴、z轴,建立空间直角坐标系(如图).

规律方法1.利用空间向量求两异面直线所成角的步骤(1)建立适当的空间直角坐标系.(2)求出两条异面直线的方向向量的坐标.(3)利用向量的夹角公式求出两直线方向向量的夹角.(4)结合异面直线所成角的取值范围得到两异面直线所成角.2.求两条异面直线所成的角的两个关注点(1)余弦值非负:两条异面直线所成角的余弦值一定为非负值,而对应的方向向量的夹角可能为钝角.(2)取值范围:异面直线所成角的取值范围是,故两直线方向向量夹角的余弦值为负时,应取其绝对值.

探究点二利用向量方法求直线与平面所成角问题4几何图形中的夹角求解,都是转化为向量的夹角来运算.如何求直线与平面的夹角?转化为什么向量的夹角?【例2】如图所示,四棱锥P-ABCD中,PA⊥底面ABCD,AD∥BC,AB=AD=AC=3,PA=BC=4,M为线段AD上一点,AM=2MD,N为棱PC的中点.(1)证明MN∥平面PAB;(2)求直线AN与平面PMN所成角的正弦值.

(1)证明由已知得AM=AD=2.如图,取棱BP的中点T,连接AT,TN,由N为PC的中点知TN∥BC,TN=BC=2.又AD∥BC,故TN∥AM且TN=AM,所以四边形AMNT为平行四边形,于是MN∥AT.因为AT?平面PAB,MN?平面PAB,所以MN∥平面PAB.

规律方法若直线l与平面α的夹角为θ,利用法向量计算θ的步骤如下:

探究点三利用向量方法求两个平面的夹角问题5如何求两个平面的夹角?转化为什么向量的夹角?【例3】如图,在正方体ABEF-DCEF中,M,N分别为AC,BF的中点,求平面MNA与平面MNB的夹角的余弦值.

解设正方体棱长为1.以B为坐标原点,BA,BE,BC所在直线分别为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系(图略),则

规律方法利用平面的法向量求两个平面的夹角利用向量方法求两平面夹角大小时,多采用法向量法.即求出两个面的法向量,然后通过法向量的夹角来得到两平面夹角.需注意法向量夹角范围是[0,π],而两相交平面夹角范围是

本节要点归纳1.知识清单:(1)异面直线所成的角;(2)直