【作用】抽象代数自选题 .pdf

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【关键字】作用

自选题目:

1、设是一个群,证明:(1)在中,阶大于2的元素的个数一定是偶数;

(2)在中,阶等于2的元素的个数与的阶有相反的奇偶性。

2、证明:6阶交换群是循环群

3、设,且证明。

4、设M,N是群的正规子群,证明:

(1);

(2)是的正规子群;

(3)若

5、设是一个素数,是的方幂阶的群,试证的非正规子群的个数一定的的倍数。

6、证明148阶群不是单群。

7、设是素数,则阶群是Abel群。

8、设是阶群,,为不同素数。证明:不是单群。

9、设,分别为,阶循环群,证明:.

10、若群中元素的阶为,元素的阶为,则当且时,有

,即.

11、设群中元素的阶为,证明.

12、设,是群的两个正规子群,且二者的交为,证明:与中的元素相乘时可换.

13、设是包含在群的中心内的一身材群,证明:当是循环群时,是交换群.

14、证明:时个轮换是的一组生成元。

15、证明:同构意义下,6阶群只有与.

16、设为素数,证明:阶群为群.

17、若G是由a,b生成的群,且=e,,证明:G为Abel群。

18、设f:G→H是群同态,若g是G的一个有限阶元。试证:f(g)的阶整除g的阶。

19、证明:任意一个群G,都不能被它的两个真子群覆盖。

20、设M◁G,N◁G。若M∩N={e},证明:,有

21、设是一个群,而是中任意一个固定的元素。证明:对新运算也作成一个群。

22、证明:1)在一个有限群里,阶数大于2的元素的个数一定是偶数。

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2)偶数阶群中阶等于2的元素的个数一定是奇数。

23、证明:交换群中所有有限阶元素作成一身材群。对非交换群如何?

24、设分别是群的两个与阶子群,证明:若,则

25、设是群的一身材群,,证明:且。

26、证明:若群的阶子群有且只有一个,则此子群必为的正规子群。

27、或

28、

29、令G是实数对(a,b),a0的集合,在G上定义(a,b)(c,d)=(ac,ad+b),试证G是群。

30、设G是一个群,a,bG,证明:=

31、证明:任何群都不能是两个真子群的并。

32、试证没有6阶子群。

33、设群G作用在集合上,令t表示在G上的作用下的轨道个数,对任意gG,表示在g作

用下的不动点个数。试证:。

34、设是大于1的奇数,是循环群。

35、一个有限群的每个元素的阶都有限.

36、假如和是一个群的两个元,并且ab=ba,又假定,,且.证明:.

37、设是群到群的同态,证明:.

38、设是群,是交换群.是到的同态,且.证明:.

39、设是群的子集.证明:若关于的任意两个左陪集的乘积仍是一个左陪集,则.

40、设是有限群的一身材群,又,证明:若不能整除,则.

41、设是群.,.且.证明:.

42、证明6阶群必存在一个3阶子群。

43、举例说明若,不一定有。

44、,证明。

45、,证明。

46、证明有限群G有唯一Sylowp-子群L的充要条件是。

47、设,,若存在,使得,则

48、设,,且,是单位元,则对任何,,有。

49、证明交换群的商群是交换群。

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50、设是循环群,是与的满同态,证明也是循环群。

51、证明交换群中所有有限阶的元素构成的一个子群

52、当时,试证n-2个3轮换,,…,是的生

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