正交阵实对称阵的正交化标准形及在历年考硕试卷中的相....docVIP

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正交阵实对称阵的正交化标准形及在历年考硕试卷中的相关题型分析

摘要：实对称阵的正交化标准形涉及正交阵，施密特正交变换以及矩阵的特征值，特征向量和对角形等方面的知识点，在矩阵函数的学习内容中占据着极其重要的基础地位，是我们全面掌握矩阵与二次型函数相关内容的关键环节。

关键词：实对称阵正交阵标准形对角阵正交化

定义1.,若,则称A为正交阵.正交阵的等价定义还有:

即同一行的乘积之和等于1，不同行的乘积之和等于0。

定理1若A为正交阵，则︱A︱=1或-1

引理1正交阵的特征值的模为1，如果有实特征值B能是1，

以上定理及引理证明显然，我们不给出证明过程。

定义2正交矩阵A可以对角化，即存在复可逆矩阵T，使，其中为A的全部特征值，即

下面我们给出史密特（shmidt）正交化的概念

设

正交化。令，

单位化。令

若令，则为正交矩阵

引理2设A是实对称阵，则A的特征值皆为实数

证明：设是A的特征值，于是有非零向量

满足

令其中是的共轭复数，则

考察等式其左边为，右边为。故有

又因是非零向量。故。即是一个实数

引理3设A是实对称矩阵，的定义如下：为n维欧氏空间上的一个线性变换,

则对或

证明：只要证明后一个等式就行了，实际上

解：（1）写出此二次型的矩阵

A=

（2）求出A的特征值

（3）求出相应的特征向量

当时，由，即解齐次线性方程组

解得基础解系（即为特征向量）

当时，由,即解方程组

解得基础解系（即为特征向量）

当时，由,即解方程组

解得基础解系（即为特征向量）

(4)正交单位化

由于已经正交，只需单位化即可，令

令,则T为正交阵。

(5)作正交变换化标准形

令正交变换那么

Eg4（新疆工学院）

A=

a,b,c满足什么条件时，矩阵的秩为3

a,b,c为何值时，A为对称阵

取一值a,b,c，使A为正交阵

解：(1)

(2)设

(3)设A为正交阵，由A的第3行，第3列，第1列得

再由第1，3列有所以a,b,c不能同时为正,那么

当时，A是正交阵。

当时，A是正交阵

当时，A是正交阵

当时，A是正交阵

Eg5（中国科学院）

求证：不存在正交阵A，B，使A2=AB+B2

证：（反证法）若存在n阶正交阵A，B，使

A2=AB+B2………1

那么,由1式有

…………2

…………3

由于A,B是正交阵,从而A2,B-1也是正交阵,他们的积A2B-1也是正交阵,此即A+B是正交阵,类似的由可证A-B是正交阵

…………4

…………5

4+5得矛盾，即证结论

Eg6(武汉大学,2000年,上海交通大学)

设A为n阶实方阵,

证法1:

证法2：

因而A的特征值分三类1,-1,或

由于是实系数多项式，其复根成对，即若有，必有，从而

又由于因此A的特征值不可能只全是1和，必有-1作为特征值，从而

Eg7(南京大学)

设是一个实二次开型，是A的特征多项式的解，且,

证明:对任一，有.

证:存在正交阵T，使

那么作正交阵变换,使

…………1

但

...…………2

但……………3

将3代入2

以上是我在考研期间总结出的几种较常见的类型题，当然，关于正交阵和实对称阵的题目种类还是很多的，但有许多都是相似的内容，可见其重要地位在矩阵论中不容忽视，其基础地位的重要性希望能引起大家足够的重视。这也是我写这篇文章的目的。其中的不足希望杨教授给予纠正。

参考文献：

《矩阵理论》,电子科技大学应用数学学院.黄迁祝,钟守铭,李正良,高等教育出版社.2003

《高等代数题解精粹》.钱吉林编著.中央民族大学出版社.2002年

《高等代数》.北京大学数学系编.高等教育出版社.1988年

《各大高校历年考研试卷》.

《高等代数解题方法与技巧》李师正主编.高等教育出版社.2004年