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山东省德州市武城县第二中学2024届高三第二次调研数学试卷
考生请注意:
1.答题前请将考场、试室号、座位号、考生号、姓名写在试卷密封线内,不得在试卷上作任何标记。
2.第一部分选择题每小题选出答案后,需将答案写在试卷指定的括号内,第二部分非选择题答案写在试卷题目指定的位置上。
3.考生必须保证答题卡的整洁。考试结束后,请将本试卷和答题卡一并交回。
一、选择题:本题共12小题,每小题5分,共60分。在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的。
1.已知整数满足,记点的坐标为,则点满足的概率为()
A. B. C. D.
2.为双曲线的左焦点,过点的直线与圆交于、两点,(在、之间)与双曲线在第一象限的交点为,为坐标原点,若,且,则双曲线的离心率为()
A. B. C. D.
3.在天文学中,天体的明暗程度可以用星等或亮度来描述.两颗星的星等与亮度满足,其中星等为mk的星的亮度为Ek(k=1,2).已知太阳的星等是–26.7,天狼星的星等是–1.45,则太阳与天狼星的亮度的比值为()
A.1010.1 B.10.1 C.lg10.1 D.10–10.1
4.复数满足为虚数单位),则的虚部为()
A. B. C. D.
5.如图,在平面四边形ABCD中,
若点E为边CD上的动点,则的最小值为()
A. B. C. D.
6.已知平面向量,满足,,且,则()
A.3 B. C. D.5
7.已知函数在区间有三个零点,,,且,若,则的最小正周期为()
A. B. C. D.
8.已知三棱柱()
A. B. C. D.
9.等差数列中,已知,且,则数列的前项和中最小的是()
A.或 B. C. D.
10.已知双曲线的中心在原点且一个焦点为,直线与其相交于,两点,若中点的横坐标为,则此双曲线的方程是
A. B.
C. D.
11.已知函数,则在上不单调的一个充分不必要条件可以是()
A. B. C.或 D.
12.下列选项中,说法正确的是()
A.“”的否定是“”
B.若向量满足,则与的夹角为钝角
C.若,则
D.“”是“”的必要条件
二、填空题:本题共4小题,每小题5分,共20分。
13.若,则__________.
14.在边长为2的正三角形中,,则的取值范围为______.
15.若函数(R,)满足,且的最小值等于,则ω的值为___________.
16.在平面直角坐标系中,双曲线(,)的左顶点为A,右焦点为F,过F作x轴的垂线交双曲线于点P,Q.若为直角三角形,则该双曲线的离心率是______.
三、解答题:共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17.(12分)已知椭圆()的离心率为,且经过点.
(1)求椭圆的方程;
(2)过点作直线与椭圆交于不同的两点,,试问在轴上是否存在定点使得直线与直线恰关于轴对称?若存在,求出点的坐标;若不存在,说明理由.
18.(12分)已知椭圆的离心率为,且过点.
(Ⅰ)求椭圆的方程;
(Ⅱ)设是椭圆上且不在轴上的一个动点,为坐标原点,过右焦点作的平行线交椭圆于、两个不同的点,求的值.
19.(12分)在多面体中,四边形是正方形,平面,,,为的中点.
(1)求证:;
(2)求平面与平面所成角的正弦值.
20.(12分)已知数列中,,前项和为,若对任意的,均有(是常数,且)成立,则称数列为“数列”.
(1)若数列为“数列”,求数列的前项和;
(2)若数列为“数列”,且为整数,试问:是否存在数列,使得对任意,成立?如果存在,求出这样数列的的所有可能值,如果不存在,请说明理由.
21.(12分)在平面直角坐标系中,设,过点的直线与圆相切,且与抛物线相交于两点.
(1)当在区间上变动时,求中点的轨迹;
(2)设抛物线焦点为,求的周长(用表示),并写出时该周长的具体取值.
22.(10分)已知曲线的参数方程为为参数),以直角坐标系原点为极点,以轴正半轴为极轴并取相同的单位长度建立极坐标系.
(1)求曲线的极坐标方程,并说明其表示什么轨迹;
(2)若直线的极坐标方程为,求曲线上的点到直线的最大距离.
参考答案
一、选择题:本题共12小题,每小题5分,共60分。在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的。
1、D
【解析】
列出所有圆内的整数点共有37个,满足条件的有7个,相除得到概率.
【详解】
因为是整数,所以所有满足条件的点是位于圆(含边界)内的整数点,满足条件的整数点有
共37个,
满足的整数点有7个,则所求概率为.
故选:.
【点睛】
本题考查了古典概率的计算,意在考查学生的应用能力.
2、D
【解析】
过点作,可得出点为的中点,由可求得的值,可计算出的值,进而可得出,结合可知点为的中点
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