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山东省德州市平原县第一中学2024届高考适应性考试数学试卷
考生请注意:
1.答题前请将考场、试室号、座位号、考生号、姓名写在试卷密封线内,不得在试卷上作任何标记。
2.第一部分选择题每小题选出答案后,需将答案写在试卷指定的括号内,第二部分非选择题答案写在试卷题目指定的位置上。
3.考生必须保证答题卡的整洁。考试结束后,请将本试卷和答题卡一并交回。
一、选择题:本题共12小题,每小题5分,共60分。在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的。
1.如图,在直角梯形ABCD中,AB∥DC,AD⊥DC,AD=DC=2AB,E为AD的中点,若,则λ+μ的值为()
A. B. C. D.
2.执行如图所示的程序框图,若输入的,则输出的()
A.9 B.31 C.15 D.63
3.已知集合,B={y∈N|y=x﹣1,x∈A},则A∪B=()
A.{﹣1,0,1,2,3} B.{﹣1,0,1,2} C.{0,1,2} D.{x﹣1≤x≤2}
4.下列函数中,值域为R且为奇函数的是()
A. B. C. D.
5.宁波古圣王阳明的《传习录》专门讲过易经八卦图,下图是易经八卦图(含乾、坤、巽、震、坎、离、艮、兑八卦),每一卦由三根线组成(“—”表示一根阳线,“——”表示一根阴线).从八卦中任取两卦,这两卦的六根线中恰有四根阴线的概率为()
A. B. C. D.
6.复数满足为虚数单位),则的虚部为()
A. B. C. D.
7.已知函数f(x)=xex2+axe
A.1 B.-1 C.a D.-a
8.等腰直角三角形BCD与等边三角形ABD中,,,现将沿BD折起,则当直线AD与平面BCD所成角为时,直线AC与平面ABD所成角的正弦值为()
A. B. C. D.
9.已知是边长为1的等边三角形,点,分别是边,的中点,连接并延长到点,使得,则的值为()
A. B. C. D.
10.如图,在平行四边形中,对角线与交于点,且,则()
A. B.
C. D.
11.设a,b都是不等于1的正数,则“”是“”的()
A.充要条件 B.充分不必要条件
C.必要不充分条件 D.既不充分也不必要条件
12.某学校调查了200名学生每周的自习时间(单位:小时),制成了如图所示的频率分布直方图,其中自习时间的范围是17.5,30],样本数据分组为17.5,20),20,22.5),22.5,25),25,27.5),27.5,30).根据直方图,这200名学生中每周的自习时间不少于22.5小时的人数是()
A.56 B.60 C.140 D.120
二、填空题:本题共4小题,每小题5分,共20分。
13.已知函数,若的最小值为,则实数的取值范围是_________
14.若变量,满足约束条件则的最大值是______.
15.设实数满足约束条件,则的最大值为______.
16.已知,则_____。
三、解答题:共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17.(12分)已知椭圆的左、右顶点分别为、,上、下顶点分别为,,为其右焦点,,且该椭圆的离心率为;
(Ⅰ)求椭圆的标准方程;
(Ⅱ)过点作斜率为的直线交椭圆于轴上方的点,交直线于点,直线与椭圆的另一个交点为,直线与直线交于点.若,求取值范围.
18.(12分)一个工厂在某年里连续10个月每月产品的总成本(万元)与该月产量(万件)之间有如下一组数据:
1.08
1.12
1.19
1.28
1.36
1.48
1.59
1.68
1.80
1.87
2.25
2.37
2.40
2.55
2.64
2.75
2.92
3.03
3.14
3.26
(1)通过画散点图,发现可用线性回归模型拟合与的关系,请用相关系数加以说明;
(2)①建立月总成本与月产量之间的回归方程;②通过建立的关于的回归方程,估计某月产量为1.98万件时,产品的总成本为多少万元?(均精确到0.001)
附注:①参考数据:,,,,.
②参考公式:相关系数,,.
19.(12分)已知与有两个不同的交点,其横坐标分别为().
(1)求实数的取值范围;
(2)求证:.
20.(12分)已知函数,
(1)求函数的单调区间;
(2)当时,判断函数,()有几个零点,并证明你的结论;
(3)设函数,若函数在为增函数,求实数的取值范围.
21.(12分)已知函数.
(1)求证:当时,;
(2)若对任意存在和使成立,求实数的最小值.
22.(10分)已知椭圆:过点,过坐标原点作两条互相垂直的射线与椭圆分别交于,两点.
(1)证明:当取得最小值时,椭圆的离心率为.
(2)若椭圆的焦距为2,是否存在定圆与直线总相切?若存在,求定圆的方程;若不存在,请
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