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10.3频率与概率(第一课时)
册别:必修2学科:高中数学(人教A版)
复习引入
对于结果是有限的(样本空间包含n个样本点)且样本点等可能的试验,
问题1:
古典概型公式:
p(A)=n(A)=→合其中的个样木点个
Pl(S2)
计算有关事件(A)的概率,概率的范围是什么?
P(A)∈[o,1]
巩固应用
同时抛掷两枚质地均匀的硬币的试验,
设事件A=“一个正面朝上,一个反面朝上”,能计算出事件A发生的概率吗?
解:把硬币正面朝上记为1,
反面朝上记为0,则这个试验的样本空间为
概率影响频率吗?
Ω={(1,1),(1,0),(0,1),(0,0)}
A={(1,0),(0,1)}
所以P()专
大胆猜想
事件的概率越大,在重复试验中,相应的频率一般也越大
事件的概率越小,在重复试验中,相应的频率一般也越小;
问题2:
(1)在重复试验中,频率的大小是否就决定了概率的大小?
(2)频率与概率之间是一种怎样的关系呢?
猜一猜?
延伸思考
对于现实中试验的样本点不是等可能的,
或者是否等可能不容易判断:
例如,抛掷一枚质地不均匀的骰子,或者抛掷一枚图钉,
此时无法通过古典概型公式计算有关事件的概率,
问题3:
我们能寻找到新的求概率的方法吗?
同时抛掷两枚质地均匀的硬币的试验,
设事件A=“一个正面朝上,一个反面朝上”统计A出现的次数并计算频率,再与其概率进行比较,你能发现什么规律?
问题探究
试验探究
抛掷次数(n)
正面朝上次数(m)
频率(m/n)
效仿数学家分步实施试验,考察随着试验次数的增加,
事件A的频率的变化情况,并总结频率与概率的关系与区别.
24000
12012
0.5005
30000
14984
0.4996
12000
6019
0.501
2048
1061
0.518
4040
2048
0.506
德.摩根
维龙
皮尔逊
皮尔逊
蒲丰
个
个
试验序号
事件A是否发生?
1
2
3
4
5
··
25
合计
事件A发生的频率
注:在相同的条件S下重复n次试验,若某一事件A出现的次数为n₄,
则称n₄为事件A出现的频数,
那么事件A出现的频率f,(A)等于什么?
第一步.每人重复做25次试验,记录事件A(一正一反)发生的次数,计算频率;
填好后每四位同学为一组,比较试验结果是否相同,思考为什么会出现这样的情况?
∈[0,1]
(表1)
试验次数
事件A发生的次数
事件A发生的频率
25
25
25
…
25
小组试验合计事件A发生的频数与频率
第二步.每位组长统计各大组事件A发生的次数计算频率,并比较临近小组的试验结果一样吗?为什么会出现这样的情况?
(表2)
小组序号
试验总次数
事件A发生的
次数
事件A发生的
频率
1
2
3
4
全班试验合计时事件A发生的频率
第三步.全班试验总次数的情况计算事件A发生的频率,将结果填入
表中.并与上述两种情况比较.思考随着试验次数的增加,事件A发生的频率有什么变化规律?
(表3)
序号
n=20
n=100
n=500
频数
频率
频数
频率
频数
频率
1
12
0.6
56
0.56
261
0.522
2
9
0.45
50
0.50
241
0.482
3
13
0.65
48
0.48
250
0.5
4
7
0.35
55
0.55
258
0.516
5
12
0.6
52
0.52
253
0.506
利用计算机模拟掷两枚硬币的试验:在重复试验次数为20,100,500时各做5组试验,得到事件
A=“一个正面朝上,一个反面朝上”发生的频数
n和频率f,(A)如表4.
组序
1
频率
2
频率
3
频率
4
频率
5
频率
f,(A)-0.5|=
?p(f(A)-0,5l≤01)
P(f,(A)-0.5≤0.05)
Pf,(A)-0.5≤0.0
100
0.56
0.50
0.48
0.55
0.52
500
0.522
0.482
0.5
0.516
0.506
1000
利用计算机模拟掷两枚硬币的试验:在重复试验次数为100,500,1000时各做5组试验用事件A=“一个正面朝上,一个反面朝上”发生的频率估计概率f,(A),在给定的误差范围内计算估计的可靠性.
(表5)
发现:试验次数多的时候波动幅度并不全都比次数少的小;
但当试验次数足够多时,用频率估计概率误差较小的可能性大.
次数
前世今生
1812年拉普拉斯
1713年《分析概率论》
伯努利《猜度术》
大数理论03
06
20世纪初
科尔莫
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