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10.1.4概率的基本性质
册别:必修第二册学科:高中数学(人教版)
学习目标
1.通过类比函数性质的研究路径,确定概率性质的研究
思路和方法;
2.通过实例的分析,能结合古典概型的概率求法理解概
率的性质;
3.通过课本例题,理解随机事件概率的运算法则,会通
过事件的关系运算,理解和事件概率加法公式及对立事件概率的求法.
事件的关系或运算
含义
符号表示
图形表示
包含
A发生导致B发生
ACB
相等
ACB且BCA
A=B
并事件(和事件)
A与B至少一个发生
AUB(或)A+B
交事件(积事件)
A与B同时发生
A∩B(或)AB
互斥(互不相容)
A与B不能同时发生
A∩B=の
互为对立
A与B有且仅有一个发生
A∩B=0,AUB=Ω
复习回顾
对随机事件发生可能性大小的度量(数值)称为事件的概率,事件A的概率用P(A)表示.
试验的样本点及样本空间具有如下共同特征:
(1)有限性:样本空间的样本点只有有限个;
(2)等可能性:每个样本点发生的可能性相等.
将具有以上两个特征的试验称为古典概型试验,其数学模型称为古典概型模型,简称古典概型.
其中n(A)和n(Ω)分别表示事件A和样本空间2包含的样本点个数.
提出问题
给出一个数学对象的定义,就可以从定义出发研究这个数学对象的性质.
例如:在给出指数函数的定义后,从定义出发,研究了指数函数的定义域、值域、单调性、特殊点的函数值等性质,
这些性质在解决问题时可以发挥很大的作用.
思考1:你认为可以从哪些角度研究概率的性质?
”请按下暂停键,思考后再听讲哦!
确定思路
从概率的定义出发研究概率的性质,例如概率的取值范围;特殊事件的概率;事件有某些特殊关系(互斥、对立、包含等)时,它们的概率之间的关系,等等.
对随机事件发生可能性大小的度量(数值)称为事件的概率,事件A的概率用P(A)表示.
由概率的定义可知:任何事件的概率都是非负的;在每次试验中,必然事件一定发生,不可能事件一定不会发生.
探究性质
对随机事件发生可能性大小的度量(数值)称为事件的概率,事件A的概率用P(A)表示.
由概率的定义可知:
任何事件的概率都是非负的;
在每次试验中,必然事件一定发生,不可能事件一定不会发生.
性质1对任意的事件A,都有
P(A)≥0
性质2必然事件的概率为1,不可能事件的概率为0,即P(Q)=1,P(②)=0.
探究性质
在“事件的关系和运算”中,我们研究过事件之间的某些关系.具有这些关系的事件,它们的概率之间会有什么关系呢?
思考2:设事件A与事件B互斥,和事件AUB的概率与事件A,B的概率之间具有怎样的关系?”请按下暂停键,思考后再听讲哦!
10.1.2例6一个袋子中有大小和质地相同的4个球,其中有2个红色球(标号为1和2),2个绿色球(标号为3和4),从袋中不放回地依次随机摸出2个球.R=“两次都摸到红球”,G=“两次都摸到绿球”.
第二次
第一次
1
2
3
4
1
×
(2,1)
(3,1)
(4,1)
2
(1,2)
×
(3,2)
(4,2)
3
(1,3)
(2,3)
×
(4,3)
4
(1,4)
(2,4)
(3,4)
×
事件R与事件G互斥,
RUG=“两次摸到的球颜色相同”.
(R)+P(G)·
n(R)=n(G)=2
n(RUG)=2+2=4.
探究性质
事件A与事件B互斥,即A与B不含有相同的样本点,所以
n(AUB)=n(A)+n(B),这等价于
P(AUB)=P(A)+P(B)
两个互斥事件的和事件的概率等于这两个事件概率之和.
互斥事件的概率加法公式:
性质3如果事件A与事件B互斥,那么
P(AUB)=P(A)+P(B)
推广如果事件A₁,A₂…,A,互斥,那么
P(A₁UA₂U…UAm)=P(A₁)+P(A₂)+…+P(Am)
事件A和事件B互为对立事件,所以和事件AUB为必然事件,即P(AUB)=1.由性质3,得
1=P(AUB)=P(A)+P(B)
性质4如果事件A与事件B互为对立事件,那么
P(B)=1-P(A),P(A)=1-P(B).
探究性质
思考3:设事件A与事件B互为对立事件,它们的概率有什么
:请按下暂停键,思考后再听讲哦!
关系?
一般地,对于事件A与事件B,如果ACB,即事件A发生,则事件B一定发生,那么事件A的概率不超过事件B的概率。
于是有概率的單调性:
性质5:如果ACB,那么P(A)≤P(B).
探究性质
思考4:在古典概型中
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