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高中数学解三角形最值
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三角形中的最值〔或X围〕问题
解三角形问题,可以较好地考察三角函数的诱导公式,恒等变换,边角转化,正弦余弦定理等知识点,是三角,函数,解析几何和不等式的知识的交汇点,在高考中容易出综合题,其中,三角形中的最值问题又是一个重点.其实,这一部分的最值问题解决的方法一般有两种:一是建立目标函数后,利用三角函数的有界性来解决,二是也可以利用重要不等式来解决.
类型一:建立目标函数后,利用三角函数有界性来解决
例1.在△ABC中,分别是内角的对边,且2asinA=〔2b+c〕sinB+〔2c+b〕sinC.
1求角A的大小;〔2〕求的最大值.
变式1:已知向量,,且,其中是△ABC的内角,分别是角的对边.
1求角的大小;〔2〕求的最大值.
解:由,得a+b—c=ab=2abcosC
所以cosC=,从而C=60
故=sin60+A
所以当A=30时,的最大值是
变式2.已知半径为R的圆O的内接⊿ABC中,若有2R〔sinA—sinC〕=〔a—b〕sinB成立,试求⊿ABC的面积S的最大值.
解:根据题意得:
2R—=a—b*
化简可得c=a+b—ab,由余弦定理可得:
C=45,A+B=135
S=absinC=2RsinA*2RsinB*sinC
=sinAsin135—A
=sin2A+45+1
∵0A135∴452A+45315
∴当2A+45=90即A=15时,S取得最大值.
高中数学解三角形最值全文共1页,当前为第1页。类型二:利用重要不等式来解决
高中数学解三角形最值全文共1页,当前为第1页。
例2〔13年##中学〕在中,角A,B,C的对边分别为且.
〔1〕若,且,求的值.〔2〕求的面积的最大值.
解〔1〕由余弦定理,
∴
∴,
又∵,
解方程组
得或舍.
∴
〔2〕由余弦定理,
∴
∵
∴,又
∴
即时三角形最大面积为
变式3.在⊿ABC中,角A,B,C的对边是a,b,c,⊿ABC的外接圆半径R=,且=
〔1〕求B和b的值;〔2〕求⊿ABC面积的最大值
解:由已知=,整理可得:sinBcosC+cosBsinC=2sinAcosB
即sinB+C=2sinAcosB
∵A+B+C=π∴sinA=2sinAcosB
∵sinA≠0∴cosB=∴B=60
∵R=,∴b=2RsinB=2sin60=3,
故角B=60,边b=3
由余弦定理得b=a+c-2accosB
即9=a+c-2accos60
∴9+ac=a+c≥2ac当且仅当a=b时取等号
高中数学解三角形最值全文共2页,当前为第2页。即ac=9当且仅当a=b=3时取等号
高中数学解三角形最值全文共2页,当前为第2页。
∴三角形得面积s=acsinB≤*9*sin60=
∴三角形得面积的最大值是
变式4:⊿ABC中,若AB=1,BC=2,则角C的取值X围是
答案:解法1.由a=2,c=1,∴a=2c
∴2sinA=4sinC∴sinC=sinA≤
∵0CA∴0C≤30
解法2.cosC===b+≥,故0C≤30
练习:
1、在△ABC中,内角A,B,C的对边分别为a,b,c,eq\fπ,3<C<eq\fπ,2且eq\fb,a-b=eq\fsin2C,sinA-sin2C.
〔1〕判断△ABC的性状;2若|+|=2,求·的取值X围.
解:1由eq\fb,a-b=eq\fsin2C,sinA-sin2C与正弦定理得sinB=sin2C,∴B=2C,且B+2C=π,
若B=2C,eq\fπ,3<C<eq\fπ,2,∴eq\f2,3π<B<π,B+C>π舍;∴B+2C=π,则A=C,∴△ABC为等腰三角形.
2∵|+|=2,∴a2+c2+2ac·cosB=4,∴cosB=eq\f2-a2,a2∵a=c,而cosB=-cos2C,eq\fπ,3<C<eq\fπ,2,∴eq\f1,2<cosB<1,∴1<a2<eq\f4,3,又·=accosB=2-a2,∴·∈eq\f2,3,1.
2、在△ABC中,cos2eq\fB,2=eq\fa+c,2c,a,b,c分别为角A,B,C的对边,则△ABC的形状为〔〕
A.正三角形B.直角三角形C.等腰三角形或直角三角形D.等腰直角三角形
解析:∵cos2eq\fB,2=eq\fa+c,2c,∴eq\fcosB+1,2=eq\fa+c,2c,∴cosB=eq\fa,c,
∴eq\fa2+c2-b2,2ac=eq\fa,c,∴a2+c2-b2=2a2,即a2+b2=c2,∴△ABC为直角三角形.答案:B
3、在ABC
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