新教材人教A版高一数学必修一知识点总结经典例题-第二章-一元二次函数、方程和不等式.docx

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新教材人教A版高一数学必修一知识点总结

第二章一元二次函数、方程和不等式

【考纲要求】

序号

考点

课标

要求

1

等式与不等式的性质

①梳理等式的性质

了解

②理解不等式的概念

理解

③掌握不等式的性质

掌握

2

基本不等式

①掌握基本不等式

掌握

②结合具体实例，能用基本不等式解决简单的最大值或最小值问题

理解

3

?

?

?

二次函数与一元二次方程、不等式

①会结合一元二次函数的图象，判断一元二次方程实根的存在性及实根的个数，了解函数的零点与方程根的关系

了解

②经历从实际情境中抽象出一元二次不等式的过程，了解一元二次不等式的现实意义

了解

③能借助一元二次函数求解一元二次不等式，并能用集合表示一元二次不等式的解集

掌握

④借助一元二次函数的图象，了解一元二次不等式与相应函数、方程的联系

了解

2.1等式性质与不等式性质

知识点总结

1.等式的基本性质

性质

内容

对称性

传递性

可加性

可乘性

可除性

2.不等式的基本性质

性质

内容

对称性

传递性

可加性

可乘性

同向可加性

同向同正可乘性

正数乘方性

3.比较两个实数大小

（1）数轴上任意两点中，右边点对应的实数比左边点对应的实数大

（2）对于任意两个实数和，

①

②

③

4.作差比较法

一般步骤

（1）作差：对要比较大小的两个数（或式子）作差

（2）变形：对差进行变形，方法有因式分解、配方、通分、分母或分子有理化等

（3）判断差的符号：结合变形的结果及题设条件判断差的符号

（4）作出结论

5.不等式的推广.

（1）几个同向不等式的两边分别相加，所得到的不等式与原不等式同向，即若，，…，，则.

（2）几个两边都是正数的同向不等式，将它们的两边分别相乘，所得到的不等式与原不等式同向，即若，，…，，则.

（3）.

（4）.

（5）.

（6）.

考法突破

【知识点一等式的基本性质】

例1对任意实数，给出下列命题：

①“”是“”充要条件；

②“是无理数”是“是无理数”的充要条件；

③“”是“”的充分条件；

④“”是“”的必要条件．其中真命题的序号是__________．答案②④

变式训练1给出下列命题

①若，则；

②方程有两个实根；

③对于实数，若，则；

④若，则；

其中真命题是__________.

答案③

【知识点二不等式的基本性质】

例1若，则（）

A

B

C

D

变式训练1已知是实数，给出下列四个命题：

①若，则?；

②若，且，则；

③若，则；

④若，则其中正确的命题的序号是()

A①④

B①②④

C③④

D②③

【知识点三比较大小】

例1已知，，则和的大小关系正确的是（）

A

B

C

D

变式训练1

设，，，则有()

A

B

C

D

2.2基本不等式

知识点总结

1.基本不等式

如果,那么，当且仅当时，等号成立。

叫做正数的算术平均数，叫做正数的几何平均数。

2.几何意义.

如图，是圆的直径，点是上一点，，，过点作垂直的弦，连接，，则，，显然有，即在圆中半径长不小于半弦长.

3.基本不等式常用变形结论

基本不等式常用结论

等号成立条件

与同号，当且仅当时取等号

，当且仅当时取等号

，当且仅当时取等号

，当且仅当时取等号

，当且仅当时取等号

4.最值定理

已知都是正数，则

（1）如果等于定值，那么当时，和有最小值，即两个正数的积为定值时，它们的和有最小值（积定和最小）；

（2）如果等于定值，那么当时，积有最大值，即两个正数的和为定值时，它们的积有最大值（和定积最大）。

（3）取得最值条件简单的说就是：一正，二定，三相等（当且仅当时取等号）

5.利用基本不等式求最值需注意的问题:

（1）各数(或式)均为正.

（2）和或积为定值.

（3）判断等号能否成立,“一正、二定、三相等”这三个条件缺一不可.

（4）当多次使用基本不等式时,一定要注意每次是否能保证等号成立,并且要注意取等号的条件的一致性.

考法突破

【知识点一利用基本不等式比较大小】

例1已知,,且,则,,,中最小的是()

A

B

C

D

例2若，且，，则与的大小关系是（）

A

B

C

D

例3已知，，，则（）

A

B

C

D

【知识点二用基本不等式证明不等式】

例1已知，求证：.

变式训练1已知都是正数，求证：.

变式训练2已知，求证：．

【知识点三积定和最小】

例1若，则的最小值为（）

A2

B

C4

D8

例2已知，则的最小值是（）

A

B

C

D

【知识点四和定积最大】

例1函数的最大值是（）

A.B.

C.D.

变式训练1

已知为正实数，且，求的最大值.

答