量子物理ch10分析和总结.docx

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第十章 定态问题的常用近似方法

10－1) 设非简谐振子的Hamilton量表为H?H

0

H

H ???2

d2 1

? u?2x2

0 2udx2 2

H??x3（?为实常数）

用微扰论求其能量本征值（准到二级近似）和本征函数（准到一级近似）。

解：已知H

?(0)

?E?(0)，?

(0)?N

e??2x22H

??x?，

0 n n n n n n

12u??

1

2

u?

?

E(0)

n

? n? ??，??

2?x? ?x?

2?

n

1 ?n?

n?1

?

? n?

? n?1?

x2?

?x??

n

1 ?2?2

n?n?1??

n?2

??2n?1?? ? ?n?1??n?2??

n

?

n?2

x3?

?x??

n

1 ?n?n?1??n?2??

n?3

?3n n? ?3?n?1? n?1?

n?1

n?1

计算

? ?n?

? ?n?1??n?2??n?3??

?

2 2?

2 2?3

n

? ? H

n

? ???

n

x3?

n

?0。

n

（也可由E(1)

n

?H

nn

??

???

??

?x?2

n

?x3dx＝0（奇）直接得出）

计算二级微扰，只有下列四个矩阵元不为0：

?

nn?3

n

?x3? ?

n

?H

?2 2?

?

2 2?3

n?n?1??n?2?

?

n?1

?x3? ?

n

? ?3n

?H

n?1,n

2 2?

2 2?3

n?1

?

n?3

?x3? ? ?

2 2?3

2 2?3

2 2?3?x3? ?

2 2?3

n

3?n?1? n?1?H

?n?

?n?1??n?2??n?3?

n?n?1??n?2??2

n?1,n

?

H

n?3,n

计算H 2：H 2?

kn n?3,n

8?6

H

n?1,n

2?9n3?

28?6

H 2

n?1,n

?9n3?

28?6

H 2??n?1??n?2??n?3??

n?3,n

28?6

又E(0)?E(0)

?3??，E(0)

?E(0)

???，

n n?3 n n?1

E(0)?E(0)

????，E(0)?E(0)

??3??，

n n?1 n n?3

? E ?E(0)

n n

?E(1)

n

?E(2)

n

?E(0)

n

?H ??

nn

k

E(0)

n

kn

H2?

H

2

k

?? 1? ?

30n2

?30n?11 ?2?2

?n?

2?

2

?? ?

?

?

8 u3?4

? ??(0)

??(1)

??(0)??

Hkn ?(0)

H

n n n

n E(0)

k n

?E(0) k

k

??(0)? ?

?1 n?n?1??n?2??(0)

?3n n?(0)

?3?n?1? n?1?(0)?1

?n?1??n?2??n?3??

?

(0)

2 2?3??n

2 2?3??

n?3

n?1

n?1 3

n?3??

10－2) 考虑耦合振子，H?H

0

?H 参书.下册§9.2

?2??2

?2 ? 1 ? ?

H ?? ? ? ?? u?2x2?x2

??0 2u

?

?

?x2

1

?x2 2 1 2

2

H???xx

1 2

（?为实常数，刻画耦合强度）

求出H

0

的本征值及能级简并度。

以第一激发态为例，用简并微扰论计算H对能级的影响（一级近似）。

严格求解H的本征值，并与微扰论计算结果比较，进行讨论。

提示：作坐标变换，令x

1

?1?