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成都中考压轴题(二)
与抛物线有关的压轴题
10、在平面直角坐标系xOy中,抛物线y=ax2+bx+c与x轴交于A、B两点(点A在点B的左侧),与y轴交于点C,点A的坐标为(﹣3,0),若将经过A、C两点的直线y=kx+b沿y轴向下平移3个单位后恰好经过原点,且抛物线的对称轴是直线x=﹣2.
求直线AC及抛物线的函数表达式;
如果P是线段AC上一点,设△ABP、△BPC的面积分别为S△ABP、S△BPC,且S△ABP:S△BPC=2:3,求点P的坐标;
设⊙Q的半径为1,圆心Q在抛物线上运动,则在运动过程中是否存在⊙Q与坐标轴相切的情况?若存在,求出圆心Q的坐标;若不存在,请说明理由.并探究:若设⊙Q的半径为r,圆心Q在抛物线上运动,则当r取何值时,⊙Q与两坐轴同时相切.
考点:二次函数综合题。专题:压轴题;分类讨论。
分析:(1)根据“过A、C两点的直线y=kx+b沿y轴向下平移3个单位后恰好经过原点”,即可得到c﹣3=0,由此可得到C点的坐标,根据A、C的坐标即可求出直线AC的解析式;根据抛物线的对称轴及A、C的坐标,即可用待定系数法求出抛物线的解析式;
由于△ABP和△BPC等高不等底,那么它们的面积比等于底边的比,由此可求出AP、PC
的比例关系,过P作x轴的垂线,通过构建的相似三角形的相似比即可求出P点的坐标;
①此题要分成两种情况讨论:
一、⊙Q与x轴相切,可设出Q点的横坐标,根据抛物线的解析式表示出它的纵坐标,若⊙Q与x轴相切,那么Q点的纵坐标的绝对值即为⊙Q的半径1,由此可列方程求出Q点的坐标;二、⊙Q与y轴相切,方法同一;
②若⊙Q与x、y轴都相切,那么Q点的横、纵坐标的绝对值相等,可据此列方程求出Q点的
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坐标,进而可得到⊙Q的半径.
解答:(1)解:(1)∵y=kx+b沿y轴向下平移3个单位后恰好经过原点,
∴b=3,C(0,3).
将A(﹣3,0)代入y=kx+3,得﹣3k+3=0.
解得k=1.
∴直线AC的函数表达式为y=x+3.
∵抛物线的对称轴是直线x=﹣2
9??﹣3??+??=0
2??∴﹣??=﹣2 ,
2??
??=3
??=1
解得??=4;
??=3
∴抛物线的函数表达式为y=x2+4x+3;
(2)如图,过点B作BD⊥AC于点D.
∵S△ABP:S△BPC=2:3,
∴(1?∣????∣?∣????∣):(1?∣????∣?∣????∣)=2:3
2 2
∴|AP|:|PC|=2:3.
过点P作PE⊥x轴于点E,
∵PE∥CO,
∴△APE∽△ACO,
∴ = =∣????∣ ∣????∣
∴ = =
∣????∣ ∣????∣ 5,
5 5∴∣????∣=2∣????∣=6
5 5
55∴6=??+3,解得﹣9
5
5
9 6
∴点P的坐标为(﹣5,5);
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0 0(3)(Ⅰ)假设⊙Q在运动过程中,存在⊙Q与坐标轴相切的情况.设点Q的坐标为(x,y)
0 0
①当⊙Q与y轴相切时,有|x0|=1,即x0=±1.
12当x0=﹣1时,得y0=(﹣1)2+4×(﹣1)+3=0,∴Q(﹣1,0)当x0=1时,得y0=12+4×1+3=8,∴Q(1,8)
1
2
②当⊙Q与x轴相切时,有|y0|=1,即y0=±1当y0=﹣1时,得﹣1=x02+4x0+3,
即x02+4x0+4=0,解得x0=﹣2,
∴Q3(﹣2,﹣1)
00当y0=1时,得1=x2+4x+3,
0
0
即x02+4x0+2=0,解得??0=﹣2± 2,
∴??4(﹣2﹣2,1),??5(﹣2+ 2,1).
综上所述,存在符合条件的⊙Q,其圆心Q的坐标分别为Q
(﹣1,0),Q
(1,8),Q(﹣
1 2 3
2,﹣1),??4(﹣2﹣2,1),??5(﹣2+ 2,1).
0 0(Ⅱ)设点Q的坐标为(x,y)
0 0
0当⊙Q与两坐标轴同时相切时,有y0=±x.
0
由y0=x0,得x2+4x0+3=x,即x2+3x0+3=0,
0 0 0
∵△=32﹣4×1×=﹣3<0
∴此方程无解.
0 0 0 0由y0=﹣x,得x2+
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