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2024年普通高等学校招生全国统一考试(全国甲卷)理科数学
一、选择题:本题共12小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.
1.设z=5+i,则i(z+z)=()
A.10i B.2i C.10 D.﹣2
2.集合A={1,2,3,4,5,9},B={x|x∈A},则?A(A∩B)=()
A.{1,4,9} B.{3,4,9} C.{1,2,3} D.{2,3,5}
3.若实数x,y满足约束条件4x?3y?3?0x?2y?2?02x+6y?9?0则z=x﹣5
A.5 B.12 C.﹣2 D.
4.记Sn为等差数列{an}的前n项和.若S5=S10,a5=1,则a1=()
A.﹣2 B.73 C.1
5.已知双曲线C:y2a2?x2b
A.4 B.3 C.2 D.2
6.设函数f(x)=ex+2sinx1+x2
A.16 B.13 C.12
7.函数f(x)=﹣x2+(ex﹣e﹣x)sinx的区间[﹣2.8,2.8]的图像大致为()
A. B.
C. D.
8.已知cosαcosα?
A.23+1 B.23?1 C.
9.已知向量a=(x+1,x),b=(x,2),则()
A.“a⊥b”的必要条件是“x=﹣3”
B.“a∥b”的必要条件是“x=﹣3”
C.“a⊥b”的充分条件是“x=0”
D.“a∥b”的充分条件是“x=﹣1+3”
10.已知α、β是两个平面,m、n是两条直线,α∩β=m.下列四个命题:
①若m∥n,则n∥α或n∥β
②若m⊥n,则n⊥α,n⊥β
③若n∥α,且n∥β,则m∥n
④若n与α和β所成的角相等,则m⊥n
其中,所有真命题的编号是()
A.①③ B.②③ C.①②③ D.①③④
11.在△ABC中,内角A,B,C所对边分别为a,b,c,若B=π3,b2
A.32 B.2 C.72
12.已知a,b,c成等差数列,直线ax+by+c=0与圆C:x2+(y+2)2=5交于A,B两点,则|AB|的最小值为()
A.2 B.3 C.4 D.6
二、填空题:本题共4小题,每小题5分,共20分.
13.二项式(13+x)
14.已知甲、乙两个圆台上下底面的半径均为r2和r1,母线长分别为2(r1﹣r2)和3(r1﹣r2),则两个圆台的体积之比V甲V乙
15.已知a>1,1log8a?
16.有6个相同的球,分别标有数字1、2、3、4、5、6,从中不放回地随机抽取3次,每次取1个球.记m表示前两个球号码的平均数,记n表示前三个球号码的平均数,则m与n差的绝对值不超过12的概率是
三、解答题:共70分.解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤.第17题~第21题为必考题,每个考题考生必须作答.第22、23题为选考题,考生根据要求作答.(一)必考题:共60分.
17.某工厂进行生产线智能化升级改造.升级改造后,从该工厂甲、乙两个车间的产品中随机抽取150件进行检验,数据如下:
优级品
合格品
不合格品
总计
甲车间
26
24
0
50
乙车间
70
28
2
100
总计
96
52
2
150
(1)填写如下列联表:
优级品
非优级品
甲车间
乙车间
能否有95%的把握认为甲、乙两车间产品的优级品率存在差异?能否有99%的把握认为甲、乙两车间产品的优级品率存在差异?
(2)已知升级改造前该工厂产品的优级品率p=0.5.设p为升级改造后抽取的n件产品的优级品率.如果pp+1.65
附:K2
P(K2≥k)
0.050
0.010
0.001
k
3.841
6.635
10.828
18.已知数列{an}的前n项和为Sn,且4Sn=3an+4.
(1)求{an}的通项公式;
(2)设bn=(?1)n?1nan
19.如图,在以A,B,C,D,E,F为顶点的五面体中,四边形ABCD与四边形ADEF均为等腰梯形,BC∥AD,EF∥AD,AD=4,AB=BC=EF=2,ED=10,FB=2
(1)证明:EM∥平面BCF;
(2)求二面角A﹣EM﹣B的正弦值.
20.已知函数f(x)=(1﹣ax)ln(1+x)﹣x.
(1)当a=﹣2时,求f(x)的极值;
(2)当x≥0时,f(x)≥0,求a的取值范围.
21.已知椭圆C:x2a2+y2b2=1(ab0)的右焦点为F
(1)求C的方程;
(2)过点P(4,0)的直线与椭圆C交于A,B两点,N为FP的中点,直线NB与MF交于Q,证明:AQ⊥y轴.
四、选考题:共10分.请考生在第22、23题中任选一题作答,并用2B铅笔将所选题号涂黑,多涂、错涂、漏涂均不给分,如果多做,则按所做
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