100022常微分模拟试卷.docx

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第

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浙江省2002年4月高等教育自学考试

常微分方程试题

课程代码：10002

一、填空题(每小题3分，共39分)

常微分方程中的自变量个数是 .

路程函数S(t)的加速度是常数a，则此路程函数S(t)的一般形式是 .

微分方程dy y中g(u)为u的连续函数，作变量变换 ，方程可化为变量分离方

=g( )

dx x

程.

微分方程F(x,y′)=0中令P=y′,若x、P平面上的曲线F(x,P)=0的参数形式为x=?(t),P=ψ(t),t为参数，则方程参数形式的通解为 .

5.方程dy?2 y=(x+1)3的通解为 .

dx x+1

如果函数f(x,y)连续，y=? (x)是方程dy=f(x,y)的定义于区间x

≤x≤x

+h上，满足初始条

件? (x

)=y

dx

的解.则y=? (x)是积分方程 定义于x

0

≤x≤x

0

+h上的连续解.

0 0 0 0

方程dy=x2+xy，满足初始条件y(0)=0的第二次近似解是 .

dx

方程dnx

+a(t)dn?1x

+…+a (t)dx +a(t)x=0

dtn

1 dtn?1

n-1 dt n

中a(t) i=1,2,…，n是〔a,b〕上的连续函数，又x(t),x(t),…，x(t)为方程n个线性无关

i 1 2 n

的解，则其伏朗斯基行列式W(t)应具有的性质是： .

常系数线性方程x(4)(t)-2x″(t)+x(t)=0的通解为 .

设A(t)是区间a≤t≤b上的连续n×n矩阵，x(t),x(t),…，x(t)是方程组x′=A(t)x的n个

1 2 n

线性无关的解向量.则方程组的任一解向量x(t)均可表示为：x(t)= 的形式.

11.初值问题x???(t)+2x″(t)-tx′(t)+3x(t)=e-t,x(1)=1,x′(1)=2,x″(1)=3可化为与之等价的一阶方程组 .

如果A是3×3的常数矩阵，-2为A的三重特征值，则方程组x′=Ax的基解矩阵

expAt= .

方程组

?dx?2x?y

?dt

?dy

??dt??x?2y

?

的奇点类型是 .

二、计算题(共45分)1.(6分)解方程

dy= 1?y .

dx xy?x3y

2.(6分)解方程

1?(x?(t))2x

1?(x?(t))2

=0.

(y-1-xy)dx+xdy=0.

4.(6分)解方程

dy-3y?y2.

dx x x2

5.(7分)求方程：

S″(t)-S(t)=t+1

满足S(0)=1,S?(0)=2的解.

6.(7分)求方程组

?x1??2x1?3x2?3x3

?x??4x ?5x ?3x

?2 1 2 3

?x??4x ?4x ?2x

?3 1 2 3

的基解矩阵Φ(t).7.(7分)验证方程：

?dx1?x

?dt 1

(1?x1

?x2)

?

?dx2?x2(2?3x ?x )

??dt 4 1 2

有奇点x=1,x=0,并讨论相应驻定方程的解的稳定性.

1 2

三、证明题(每小题8分，共16分)

设f(x,y)及?f连续，试证方程

?y

dy-f(x,y)dx=0

为线性方程的充要条件是它有仅依赖于x的积分因子.

函数f(x)定义于-∞x+∞，且满足条件|f(x)-f(x

)|≤N|x-x

|,其中0N1,证明方程

x=f(x)

存在唯一的一个解.

1 2 1 2

浙江省2002年4月高等教育自学考试

常微分方程试题参考答案

课程代码：10002

一、填空题(每小题3分，共39分)1. 1

at2+ct+c

2 1 2

u=y

x

??x??(t)

?4.?y??

?

?

?(t)??(t)dt?c

c为任意常数

1 4 2

5.y=

2

(x+1)+c(x+1)

6.y=y+?x

0 x

f(x,y)dx

7.?

0

(x)=x3?x8

2 3 72

8.对任意t?[a,b],w(t)?0

9.x(t)=c

et+c

tet+c

e-t+c

te-t

1 2 3 4

10.x(t)=cx(t)+cx(t