2009年全国高中数学联合竞赛.docx

二00九年高中数学联赛四川赛区初赛试题详细参考答案及评分标准

说明：

1、评阅试卷时，请依据评分标准.选择题和填空题只设5分和0分两档；其它各题的评阅，请严格按照评分标准规定的评分档次给分，不要再增加其它中间档次.

2、如果考生的解答题方法和本解答不同，只要思路合理，步骤正确，在评阅时可参考本评分标准适当划分档次评分，5分一个档次，不要再增加其它中间档次.

一、选择题（每小题5分，共30分）

1、下列函数中，以?

2

为最小正周期的偶函数是（ ）

A、y?sin2x?cos2x B、y?sin2xcos2x

C、y?sin2x?cos2x D、y?sin22x?cos22x

解：在A中，取x?

?，则y?1；取x???

4 4

，则y??1，从而y不是偶函数；

在B中，y?

1sin4x，它不是偶函数；

2

在C中，y?

1?cos2x

2

，它的最小正周期为?；

在D中，y??cos4x，符合条件．故答案选D．

2、甲、乙两人之间进行一场打完7局的比赛（每局无平局），则比赛结果出现甲比乙为4:3的概率是

A、35

128

B、5

16

C、4

7

D、5

8

7?解：符合条件的概率为C4 35 ．故答案选A．

7

?

27 128

3、函数y?x2的图象F

与它按向量?? 平移后的函数图象

a?

a?(m,1) F

在x?1处的切线互

2

相垂直，则实数m的值为（ ）

A、?5

4

3

B、?

4

C、3

4

D、5

4

解：由已知F

2

的函数为y?（x?m）2

1，其在x?1处的切线的斜率为k

2

?2（1?m），

因为F

在x?1处的切线的斜率为k

1 1

?y?(1)?2，所以2?2（1?m）??1，解得m?5．故

4

答案选D．

4、设数列{a

n

的值为（ ）

}满足：a1

?2，a

n?1

1

?1?

a

n

，记数列{a

}的前n项之积为P

n n

，则P

209

A、?1

2

解：因为a

?1?

B、?1

1

?1?

C、1

2

1 ??1 ，

D、1

n?2

a

n?1

1? 1 a ?1

na

n

于是a

n?3

1

?1? ?1?

a

n?2

n

1

?a ，

?1 n

a ?1

n

故{a

}是以3为周期的周期数列.

n

又a1?2，a2

?1，a

2 3

??1，从而P

3

??1

所以，P

2009

?（?1）669P

2

??1．故答案选B．

5、已知关于x，y

的方程组?x2?y2?2k2仅有一组实数解，则符合条件的实数 的

?k个数是（ ）

?

k

?kx?y?2k

A、1 B、2 C、3 D、4

2解：若k?0，显然方程组仅有一组解（0，0），故k?0符合条件；

2

若k?0，则x2

y2?2k2的图象是一个以(0,

0)为圆心，以r?

|k|为半

径的圆，而kx?y?2k表示直线．

k2?12由题设条件知 |2

k2?1

2

|k|，即

4k2

1?k2

?2k2，解得k??1．

综上所述，符合条件的实数k共有3个．故答案选C．

6、已知a,b,c均为大于0的实数，

设命题P：以a,b,c为长度的线段可以构成三角形的三边

命题Q：a2

?b2

?c2

?2(ab?bc?ca)

则P是Q的（ ）

A、充分但不必要条件 B、必要但不充分条件

C、充要条件 D、既不充分也不必要条件

解：一方面，若P成立，则b?c?a，故a(b?c)?a2，即ab?ac?a2

同理：ba?bc?b2，ca?cb?c2

所以，a2

?b2

?c2

?2(ab?bc?ca)，即Q成立．

另一