(7.3)--2002年考研题及答案线性代数.doc

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2002年研究生入学试题

线性代数部分

一、填空题

1.设矩阵，，。

2．设向量组线性无关，则a,b,c满足关系式。

3．设三阶方阵，三维列向量，已知线性相关，则。

4．已知实二次型

，

经正交变换可化为标准形，则a=。

5．矩阵的非零特征值是。

二、选择题

1．设A,B为n阶矩阵，分别为A，B对应的伴随矩阵，分块矩阵,则C的伴随矩阵=()

A.B.

C.D.

2.设向量组线性无关，向量可由线性表示，而向量不能由线性表示，则对于任意常数k,必有（）

A.线性无关

B线性相关

C.线性无关

D线性相关

3.设A是矩阵，B是矩阵，则线性方程组（）。

A.当时仅有零解B.当时必有非零解

C.当时仅有零解D.当时必有非零解

4.设A是n阶实对称矩阵，P是n阶可逆矩阵。已知n维列向量是A的属于特征值的特征向量，则矩阵属于特征值的特征向量是（）。

A.B.C.D.

5．设有3张不同平面的方程，它们所组成的线性方程组的系数矩阵与增广矩阵的秩都为2，则这3张平面可能的位置关系为附图1的（）。

A

A

B

D

C

三、计算证明题

1.已知A,B为三阶矩阵，且满足，其中E是三阶单位矩阵。

（1）证明可逆；

（2）若，求矩阵A.

2.已知四阶方阵均为四维列向量，其中线性无关，，如果，求线性方程组的通解。

3．设齐次线性方程组

，

其中。试讨论为何值时，方程组仅有零解，有无穷多组解？在有无穷多组解时，求出全部解，并用基础解系表示全部解。

4．设四元齐次线性方程组(I)为，且已知另一四元齐次方程组(II)的一个基础解系为

。

（1）求方程组(I)的一个基础解系；

（2）问a为何值时，方程组(I)和(II)有非零公共解？在有非零公共解时，求出全部非零公共解。

5.设实对称矩阵，求可逆矩阵为对角形矩阵，并计算行列式|A-E|的值.

6．设A,B为同阶方阵。

（1）如果A,B相似，证明A,B的特征多项式相等；

（2）举一个二阶方阵的例子说明（1）的逆命题不成立；

（3）当A,B均为实对称矩阵时，试证（1）的逆命题成立。

7．设A为三阶实对称矩阵，且满足条件，已知A的秩R(A)=2.

(1)求A的全部特征值。

（2）当k为何值时，A+kE为正定矩阵，其中E为三阶单位矩阵。

.

考研线性代数试题答案和提示

一、1.。2．。3．-1。4．2。5．4。

二、1．D.2.A.3.D.4.B.5．B。

三、1.（1）由，即即

，知。

（2），

即。

2.。

提示：由于线性无关和，故A的秩为3，因此

的基础解系含一个向量，显然，故的通解为，而，故

为的特解，所以的通解为。

3．，

（1）当且时，方程组仅有零解；

（2）当时，，

即，通解为，其中为任意实数，基础解系为

，

（3）当，

通解为，其中c为任意常数，基础解系为

4．（1）

得一个基础解系为，

（2）将（II）的全部解

代入方程（I）得，为使（I）（II）有公共的非零解，必须，即时，（I）（II）有非零的公共解，。

5.由，得，

对，可得线性无关的特征向量为，

对于，得对应的特征向量为，

令，。

。

6．（1）若A,B相似，则存在可逆阵P,使成立，故

（2）令，那么

但A,B不相似，否则有可逆阵P，使，则矛盾。

（3）当A,B均为实对称矩阵时，则A,B必相似于同一对角阵。即存在可逆阵

使成立，这时

，故A与B相似。

7．（1），于是，得

，而R(A)=2,且A为实对称矩阵，故。

为了使正定，须全大于零，即.