《高等数学》第三章 微分中值定理与导数的应用.pptx

第三章微分中值定理与导数的应用

;;罗尔定理;;罗尔定理;;;;定理条件不全具备,;例1;例2;;;;分析问题的条件,逆向思维,寻找辅助函数

是证明的关键.;;;;则由已知条件可得：;;例4;;;;例5;;练习1;柯西Cauchy(法)1789-1859;;柯西定理的几何意义;;;罗尔

定理;应用三个中值定理常解决下列问题;例8;四、小结;第三章微分中值定理

与导数的应用;第二讲洛必达法则;其极限都不能直接利用极限运算;1.求未定式极限的有效方法,;定理1;证;再求极限来确定未定式的值的方法称为洛必达法则.;例1;例3;例5;;;定理3假设：;;例7;例8;例9;三、其他类型的未定式;例11;例12;步骤:;例14;2为了简化计算，对于可约去的因子应先约去；极限非零的因子可先取极限；还可使用等价无穷小替换。;例16;例17;例18;;例;;练习;解;;(1)存在极限为非零的因子,可根据积的极限运算法则先求出其极限.;这是数列的极限;;第三章微分中值定理与导数的应用;几个初等函数的

麦克劳林公式;;;（如下图）;需要解决的问题;;;;泰勒(Taylor)中值定理;;;柯西定理;如此下去,;;;注意:;麦克劳林(Maclaurin)公式;解;;解;;;类似地,有;常用函数的麦克劳林公式;97;;;误差为;;;解;例5;;即;证明;证;109;练习;四、小结;第三章微分中值定理

与导数的应用;第四讲函数单调性与极值;一、函数单调性的判别法;定理（函数单调性判定法）;证;例1;例2;例3;单调区间求法;例4;例5;区间内有限个或无穷多个离散点处导数为零,;例6;例7;126;例8;128;二、函数极值的定义;;说明：;函数极值的求法;例9;定理3(第一充分条件);;求极值的步骤:;例9;例10;定理4(第二充分条件);例12;三、最值的求法;步骤:;应用举例;例14;实际问题求最值应注意:;解;解得;例16;（唯一驻点）;敌人乘汽车从河的北岸A处以1公里/分的速度向正北逃窜，同时我军摩托车从河的南岸B处向正东追击，

速度为2公里/分．

问我军摩托车何

时射击最好（相

距最近射击最好）？;解;三、小结;思考题;思考题解答;思考题;思考题解答;在–1和1之间振荡;第三章微分中值定理

与导数的应用;第五讲函数的凸性与图形的描绘;一、函数凸性的定义;161;;上凸;二、函数凸性的判定;定理;;???2;三、曲线的拐点及其求法;例3;例4;注意:;四、曲线的渐近线;1.水平渐近线;2.铅直渐近线;3.斜渐近线;斜渐近线求法:;注意:;178;例7;五、函数作图;第三步;作图举例;列表确定函数升降区间,凹凸区间及极值点和拐点:;作图;185;例9;;188;例10;;191;六、小结;函数图形的描绘综合运用函数性态的研究,是导数应用的综合考察.;思考题;思考题解答;第三章微分中值定理

与导数的应用;;一、曲率的概念;;解;由公式，直线的曲率处处为零;;202;例2;;;;;三、曲率圆与曲率半径;1.曲线上一点处的曲率半径与曲线在该点处的曲率互为倒数.;;得曲率为;四、小结;思考题;思考题解答;第三章微分中值定理与

导数的应用;;;;;2.微分中值定理的主要应用;利用逆向思维,;(1)研究函数的性态:;;;;;;;;;例;;;例;可知,;例;所以,;例;得;例;241;列表如下:;;作图