《高等数学》第二章 导数与微分.pptx

第二章导数与微分;;一、问题的提出;2.切线问题;;二、导数的定义;即;★;注意:;★;三、由定义求导数;例2;例3;例4;例5;例6;四、导数的几何意义与物理意义;例7;2.物理意义;五、可导与连续的关系;连续函数不存在导数举例;;例如,;;例8;例9;上例中，也可以不通过连续性而直接从导数定义来求解。方法如下：;六、小结;思考题;思考题解答;思考;课堂练习;七、作业;;;;;;;;;;;;一、和、差、积、商的求导法则;证(3);47;推论;例题分析;例2;例3;例4;例5;例6;例7;例8;57;例9;二、反函数的导数;证;例10;例11;三、复合函数的求导法则;证;推广;例13;例15;例16;例18;例19;例20;例21;例22;74;四、初等函数的求导问题;2.函数的和、差、积、商的求导法则;3.复合函数的求导法则;例23;例25;例26;五、小结;课堂练习;课堂练习;思考;六、作业;例24;双曲函数的导数;同理;例27;第三节隐函数和参数方程

确定函数的导数;一、隐函数的导数;例1;例2;例3;例4;二、对数求导法;例5;例6;例7;三、参数方程确定函数的导数;由复合函数及反函数的求导法则得;例8;所求切线方程为;例9;例10;四、相关变化率;例11;例12;五、小结;课堂练习;六、作业;思考题;思考题解答;例10;115;莱布尼兹公式;例9;四、小结;思考题;思考题解答;;一、高阶导数的定义;记作;二、高阶导数求法举例;例2;解2从方程(1)解出：;例3;例4;例5;例5;例6;例7;例8;莱布尼兹公式;例9;四、小结;思考题;思考题解答;课堂练习;五、作业;第六节微分中值定理;一、预备知识;二、罗尔定理;证;几何解释:;注意:若罗尔定理的三个条件中有一个不满足,其结论可能不成立.;例1;例2;三、拉格朗日(Lagrange)中值定理;;证明作辅助函数;(3)拉氏公式表达了在一个区间上，自变量的

增量、函数值的增量与函数在这区间内

某点处的导数之间的关系.;;例2;例3;例4;(2);推论1;例5;推论2;四、柯西(Cauchy)中值定理;几何解释:;也可如下作辅助函数：;;;Rolle

定理;思考题;思考题解答;课堂练习;170;171;六、作业;第七节洛必达法则;;定理1假设：;证;例1;例3;例5;例7;定义;洛必达法则依然可以使用.;例8;例9;例10;三、其他类型的未定式;例12;例13;步骤:;例15;2为了简化计算，对于可约去的因子应先约

去；极限非零??因子可先取极限；还可使

用等价无穷小替换。;例17;例18;例19;例20;课堂练习;五、作业;思考题;思考题解答;第八节泰勒公式;一、问题的提出;202;不足:;;205;二、泰勒(Taylor)中值定理;称为拉格朗日型余项。;称为皮亚诺型余项。;注意:;泰勒(Taylor)公式变为：;三、简单的应用;由公式可知;常用函数的麦克劳林公式;解;解;证;两式相加得：;证;219;四、作业;思考题;;;;;;第九节函数单调性的判断和函数的极值;一、函数单调性的判别法;定理（函数单调性判定法）;证;例1;例2;例3;单调区间求法;例4;例5;例6;例7;例8;240;例9;242;二、函数极值的定义;;说明：;函数极值的求法;例9;定理3(第一充分条件);;求极值的步骤:;例10;例11;例12;不能用定理3;定理4(第二充分条件);例13;三、最值的求法;步骤:;应用举例;例15;实际问题求最值应注意:;解;解得;例17;（唯一驻点）;敌人乘汽车从河的北岸A处以1公里/分的速度向正北逃窜，同时我军摩托车从河的南岸B处向正东追击，

速度为2公里/分．

问我军摩托车何

时射击最好（相

距最近射击最好）？;解;三、小结;思考题;思考题解答;思考题;思考题解答;在–1和1之间振荡;课堂练习;四、作业;第十节函数的凸性和图形的描绘;一、函数凸性的定义;278;;上凸;二、函数凸性的判定;定理;;例2;三、曲线的拐点及其求法;例3;例4;注意:;四、曲线的渐近线;1.水平渐近线;2.铅直渐近线;3.斜渐近线;斜渐近线求法:;注意:;295;例2;五、函数作图;第三步;作图举例;列表确定函数升降区间,凹凸区间及极值点和拐点:;作图;302;例3;;305;例4;;308;六、小结;函数图形的描绘综合运用函数性态的研究,是导数应用的综合考察.;思考题;思考题解答;课堂练习;五、作业;;一、曲率的概念;;解;由公式，直线的曲率处处为零;;320;例2;;;;;三、曲率圆与曲率半径;1.曲线上一点处的曲率半径与曲线在该点处的曲率互为倒数.;;得曲率为;