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2021年深圳中学自主招生数学

自主招生考试一直都是中学生们备战的重要考试之一，而2021年深圳中学自主招生数学考试题目在难度与编排上有了一些新的变化。本文将对该考试的试题进行详细解析，帮助考生们更好地理解题意与解题思路。

第一部分：选择题

1.已知平面直角坐标系上点A(2,3)和B(5,4)。点P在AB上，并且线段BP的中点为M。若直线AP的斜率为??，求??的取值范围。

解析：首先计算出线段AB的斜率，即：??_1=(4-3)/(5-2)=1/3。由于BP的中点为M，所以点M的坐标为[(5+2)/2,(4+3)/2]=(7/2,7/2)。根据中点公式可得出AM的斜率为：??_2=(7/2-3)/(7/2-2)=-3/5。因为AP与BM平行，所以??=??_2=-3/5。综上，??的取值范围为-3/5。

2.已知函数??=??^??关于直线??=2对称，且过点(1,4)。求实数??的值。

解析：首先，考虑到关于直线??=2对称，所以对称轴的??值不变，即??^0=2。可得??=2的到底次幂数。接下来，代入点(1,4)得??^1=4。将??=2带入方程可得2^1=4，满足条件。所以实数??的值为2。

第二部分：填空题

1.已知??≠0，且关于??的二次方程??^2-(??+1)??+2??=0有两个不相等的实根。求实数??的取值范围。

解析：由二次方程的判别式??=??^2-4????可以得到：(??+1)^2-4·2??0。化简得：??^2+2??-70。求解不等式得到：-4??1。所以实数??的取值范围为(-4,1)。

2.决心购买一些书籍，价格分别为1元、5元、10元、20元和50元。若该人购买的书籍数量不少于100本，且总价格不超过500元，求可能的购买方案数。

解析：设购买对应的数量为??_1,??_2,??_3,??_4,??_5，则有如下约束条件：

??_1+5??_2+10??_3+20??_4+50??_5≥100

??_1+5??_2+10??_3+20??_4+50??_5≤500

根据约束条件，我们可以进行暴力枚举法，列出所有可能的情况，最后得出满足条件的购买方案数。

第三部分：解答题

1.已知函数??(??)=2^??+2019和??(??)=??+log2(2019)。求解如下方程：

??(??)=??(??^2-2)+??(2???).

解析：首先利用函数??(??)和??(??)的定义分别代入方程得到：

2^??+2019=(??^2-2)+log2(2019)+2???+log2(2019)。

整理方程可得：??^2-2??-??=0。

解得：??=0或??=3.

综上所述，方程的解为??=0,3.

2.设函数??=??(??)满足条件：

(1)当??1时，??????2??=??+log2(1-??);

(2)当1??0时，??????2??=??????2(??+??);

(3)当0??时，??????2??=??+??????2(??+1).

求解函数??=??(??)的解析式。

解析：根据给定条件，我们可以利用函数性质来解题。

由条件(1)可得：??=2^(??+log2(1-??))=2^(??????2(1-??))=1-??.

由条件(2)可得：??=2^(??????2(??+??))=??+??.

由条件(3)可得：??=2^(??+??????2(??+1))=??(??+1).

综上所述，解析式为??=1-??.