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思考题符号函数在内是否存在原函数?为什么?第31页,共33页,星期六,2024年,5月思考题解答不存在.假设有原函数故假设错误所以在内不存在原函数.结论每一个含有第一类间断点的函数都没有原函数.第32页,共33页,星期六,2024年,5月感谢大家观看第33页,共33页,星期六,2024年,5月上页下页结束返回首页关于高等数学上4.1不定积分的概念与性质§4.1不定积分的概念与性质原函数与不定积分的概念基本积分公式不定积分的性质第2页,共33页,星期六,2024年,5月例定义:一、原函数与不定积分的概念第3页,共33页,星期六,2024年,5月问题:1.在什么条件下,一个函数的原函数存在?2.若原函数存在,它如何表示?定理1.存在原函数.(下章证明)初等函数在定义区间上连续初等函数在定义区间上有原函数原函数存在定理:连续函数一定有原函数.第4页,共33页,星期六,2024年,5月原函数存在定理:连续函数一定有原函数.注意:(1)原函数不唯一;例(2)原函数之间的关系:若和都是的原函数,第5页,共33页,星期六,2024年,5月不定积分的几何意义:的原函数的图形称为的图形的所有积分曲线组成的平行曲线族.的积分曲线.第6页,共33页,星期六,2024年,5月任意常数积分号被积函数不定积分的定义:被积表达式积分变量第7页,共33页,星期六,2024年,5月例1求解解例2求第8页,共33页,星期六,2024年,5月例3设曲线通过点(1,2),且其上任一点处的切线斜率等于这点横坐标的两倍,求此曲线方程.解设曲线方程为根据题意知由曲线通过点(1,2)所求曲线方程为第9页,共33页,星期六,2024年,5月注:1)求导数与求不定积分是互逆运算2)同一函数的不定积分的结果形式会不同可用求导数的方法验证正确性.第10页,共33页,星期六,2024年,5月实例积分运算和微分运算是互逆的,因此可以根据求导公式得出积分公式.二、基本积分表第11页,共33页,星期六,2024年,5月基本积分表?是常数);说明:简写为第12页,共33页,星期六,2024年,5月第13页,共33页,星期六,2024年,5月第14页,共33页,星期六,2024年,5月例4求积分解根据积分公式(2)第15页,共33页,星期六,2024年,5月证等式成立.(此性质可推广到有限多个函数之和的情况)三、不定积分的性质第16页,共33页,星期六,2024年,5月证第17页,共33页,星期六,2024年,5月例5求积分解说明:被积函数需要进行恒等变形,才能使用基本积分表.分项积分第18页,共33页,星期六,2024年,5月例6求积分解分项积分第19页,共33页,星期六,2024年,5月解:原式例7:求加项减项第20页,共33页,星期六,2024年,5月例8求积分解例9:求解:原式三角公式三角公式第21页,共33页,星期六,2024年,5月例10求积分解利用三角公式第22页,共33页,星期六,2024年,5月内容小结1.不定积分的概念?原函数与不定积分的定义?不定积分的性质?基本积分表(见P186)2.直接积分法:利用恒等变形,及基本积分公式进行积分.常用恒等变形方法分项积分加项减项利用三角公式,代数公式,积分性质第23页,共33页,星期六,2024年,5月思考与练习1.若提示:第24页,共33页,星期六,2024年,5月2.若是的原函数,则提示:已知第25页,共33页,星期六,2024年,5月3.若的导函数为则的一个原函数是().提示:已知求即B??或由题意其原函数为第26页,共33页,星期六,2024年,5月4.求下列积分:提示:第27页,共33页,星期六,2024年,5月5.求不定积分解:第28页,共33页,星期六,2024年,5月6.已知求A,B.解:等式两边对x求导,得第29页,共33页,星期六,2024年,5月作业P1922(1),(3),(5),(7),
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