清华大学弹性力学冯西桥FQChapter微分提法A课件.pptVIP

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弹性力学问题的微分提法位移解法解的唯一性定理圣维南原理2Chapter6

(Saint-Venant)(Lamé)4Chapter6.1

当选位移作基本量时只需考虑几何方程，协调方程将自动满足；当选应变作基本量时，只需满足协调方程，就能保证由几何方程积分出单值连续的位移场来。两个本构方程也是等价的，于是有两组基本方程组：5Chapter6.1

第一组基本未知量：?(6),?(6),u(3)ijiji6Chapter6.1

第二组基本未知量：?(6),?(6)ijij7Chapter6.1

8Chapter6.1

1.处处给定外部作用力的力边界条件S。?边界条件为：域内应力场的边界值应满足柯西公式p不能消除刚体位移p要满足整体平衡条件。9Chapter6.1

时称为自由表面，是力边界的特殊情况。◎集中力化为作用在微小面积上的均布表面力。◎集中力矩则化为非均布表面力。10Chapter6.1

u有时也可指定边界位移的导数值(例如，转角为零)或应变值。在静力学问题中，所给的位移应足以防止物体的刚体运动。11Chapter6.1

3.在部分边界S上给定外力，部分边界S上给定位?u12Chapter6.1

在边界同一位置，给定部分位移分量和部分面力分量。chapter3.61351

p对称载荷：在对称面上，所有对称场变量的一阶导数等于零，所有反对称场变量的值等于零。p反对称载荷：在对称面上，所有反对称场变量的一阶导数等于零，所有对称场变量的值等于零chapter3.1451

chapter3.61556

弹性力学问题微分提法的基本思想：从研究弹性体内的微元入手，导出描述微元静力平衡、变形几何及弹性关系的一组基本方程，加上相应的边界条件把弹性力学问题归结为求解偏微分方程组的边值问题。16Chapter6.1

从求解的未知量方面考虑，可分为如下四类：?位移为基本未知量?应变为基本未知量?应力（应力函数）为基本未知量?混合未知量19Chapter6.1

弹性力学问题的微分提法位移解法解的唯一性定理圣维南原理20Chapter6

位移解法是以位移分量u作基本未知量的解法。即i以位移分量的三个未知函数作为基本未知函数。这三个位移分量所对应的应力在物体内部应满足平衡微分方程。现经过下述步骤将平衡微分方程中的应力改用位移表示，从而得出用位移表示的平衡微分方程式。21Chapter6.2

用位移表示的平衡方程（Lamé-Navier方程）22Chapter6.2

23Chapter6.2

24Chapter6.2

25Chapter6.2

26Chapter6.2

综上上式实质上是位移形式的平衡方程式，这就是位27Chapter6.2

若给定的是位移边界条件，则直接用位移表示，即若给定的是表面力的边界条件，则可将其表面力以位移表示(以x方向为例)，28Chapter6.2

29Chapter6.2

30Chapter6.2

u齐次的Lamé-Navier方程(即f＝0的无体力情况)：ii31Chapter6.2

是非零常数，故第一应变不变量?应满足调和方程称为调和算子或拉普拉斯算子。32Chapter6.2

故第一应力不变量(或平均正应力)也满足调和方33Chapter6.2

由连续性条件及式(1)式得又∵∴称为重调和算子。上式说明位移分量u应满足重调和方程。i34Chapter6.2

35Chapter6.2

(2)若为调和函数，则u调和函数和双调和函数的关系(1)若为调和函数，则也是双调和函数(2)若为调和函数，则是双调和函数(3)若为调和函数，则是双调和函数36Chapter6.2

综上所述，在无体力情况下，第一应变不变量?、第一应力不变量?和平均正应力?都是调和函数。位移分量u，应变分量0i?和应力分量?都是重调和函数。于是弹性力学的无体力问题ijij对于常体力情况f＝const，不难验证这个结论同样适用。i对于变体力情况，可先找一个特解(不必满足边界条件)，然37Chapter6.2

弹性力学问题的微分提法位移解法解的唯一性定理圣维南原理38Chapter6

(6-3)(6)39Chapter6.3

E.Beltrami(1835-1900)这就是应力解法的定解方程，称为应力协调方程或贝尔脱拉密-密乞尔方程，简称B-M方程，共含六个二阶椭圆方程。40Chapter6.3

分量形式41Chapter6.3

前面曾指出，六个应变协调方程并不完全独立，不能由它们独立解出六个应变分量。以此类推，六个应力协调方程也不可能完全独立，所以用应力解法解题时通常要求在域内同时满