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第六讲 等差数列
【例题精讲】
例1计算下面各题:
(1)2+5+8+…+23+26+29;
(2)(2+4+6+…+100)-(1+3+5+…+99)。
解(1)这是一个公差为3,首项为2,末项为29,项数为(29-2)÷3+1=10
的等差数列求和。
原式=(2+29)×10÷2=31×10÷2=155
(2)解法一:原式=(2+100)×50÷2-(1+99)×50÷2=2550-2500=50;
解法二:原式=(2-1)+(4-3)+(6-5)+…+(100-99)=1×50=50.
说明两种解法相比较,解法一直套着公式,平平淡淡;解法二从整体上把握了题目的运算结构和数字特点,运用交换律和结合律把原式转化成了整齐的结构“1+1+…+1”,从而解得更巧、更好
例2计算:1÷2003+2÷2003+3÷2003+…+2001÷2003+2002÷2003+2003÷2003.
分析:如果按照原式的顺序,先算各个商,再求和,既繁又难。由于除数都相同,被除数组成一个等差数列:1,2,3,4,…,2001,2002,2003
所以可根据除法的运算性质,先求全部被除数和,再求商。
解原式=(1+2+3+…+2002+2003)÷2003=(1+2003)×2003÷2÷2003=1002.
说明此题解法巧在根据题目特点,运用除法性质进行转化。计算中又应用乘除混合运算的简化运算,使整个解答显得简捷明快。
例3某小学举办“迎春杯”数学竞赛,规定前十五名可以获奖。比赛结果第一
名1人,第二名并列2人,第三名并列3人……第十五名并列15人。用最简便方法计算出得奖的一共又多少人?
分析:通过审题可知,各个名次的获奖人数正好组成一个等差数列:1,2,3,…,
15.因此,根据求和公式可以求出获奖总人数。解:(1+15)×15÷2=16×15÷2=120(人)
例4某体育馆西侧看台上有30排座位,后面一排都比前面一排多2个座位,最后一排有132个座位。体育馆西侧看台共有多少个座位?
分析:要求这30个数的和,必须知道第一排的座位数,而最后一排的座位数是由第一排座位数加上(30-1)×2得出来的,这样就可以求出第一排的座位数。
解:第一排的座位数为:132-2×(30-1)=132-58=74(个)所以(74+132)×30÷2=206×30÷2=3090(个)
例5学校进行乒乓球比赛,每个参赛选手都要和其他所有选手赛1场。
若有20人比赛,那么一共要进行多少场选拔赛?
若一共进行了78场比赛,有多少人参加了选拔赛?
解:设20个选手分别是A,A,A,…,A20,我们从选手A,开始按顺序分析比赛
场次:
1 2 2 1
A必须和A,A,A,…,A这19人各赛一场,共计19场;
1 2 3 4 20
A已和A赛过,他只需和A,A,A,…,A
这18名选手各赛一场,共计18场;
2 1 3 4 5 20
A已和A,A赛过,他只需与A,A,A,…,A
这17名选手各赛一场,共计
3 1 2
17场;
4 5 6 20
依次类推,最后,A只能和A赛一场。
19 20
然后对各参赛选手的场次求和即可。
解(1)这20名选手一共需赛
19+18+17+…+2+1=(19+1)×19÷2=190(场)。
(2)设参赛选手有n人,则比赛场次是1+2+3+…+(n-1),根据题意,有1+2+3+…+(n-1)=78,
经过试验可知,1+2+3+…+12=78,
于是n-1=12,n=13,所以,一共有13人参赛。
说明,(1)也可这样想,20人每人都要赛19场,但“甲与乙”、“乙与甲”只能算一场,因此,共进行20×19÷2=190(场)比赛。
(2)采用了试验法,这是一种很实用的方法,希望同学们能熟练掌握。
一、求和:
(1)100+102+104+106+108+110+112+114
解:(100+114)×8÷2
=214×8÷2
=856
(2)995+996+997+998+999
解:996×7
=6972
(3)1+3+5+7+9…95+97+99
解:50×50
=2500
(4)(1+3+5+…+1999)-(2+4+6+8+…+1998)
解:(1+1999)×1000÷2—(2+1998)×999÷2
=2000×1000÷2—2000×999÷2
=1000000—999000
=1000
(5)1+3+5+…+197+199
这是一个公差为2、首项为1、末项为199、项数=(199—1)÷2+1=100
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