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厦门大学《线性代数》课程试卷______学院(系)____年级_____专业
厦门大学《线性代数》课程试卷
______学院(系)____年级_____专业
主考教师:线性代数教学组
试卷类型:(A卷)2007.1.
设A为n阶方阵且A0,则( )
(A)矩阵A必有两行(列)的元素对应成比例。
(B)矩阵A中任意一行(列)向量是其余各行(列)向量的线性组合。
(C)矩阵A中必有一行(列)向量是其余各行(列)向量的线性组合。
(D)矩阵A中至少有一行(列)的元素全为零。
设A是m n矩阵,C是n阶可逆矩阵,矩阵A的秩为r,矩阵B AC的秩为r,则( )
1
(A)r
r。
(B)r
r。
(C)r
r。
(D)r与r的关系依C而定。
1
1
1
1
设x,x是非齐次线性方程组Ax b的两个不同解,则也是方程组Ax b的解是( )。
1 2
x 2x
(A)x
1
x。 (B)x
2 1
x。 (C)
2
1 2。 (D)2x x。
2 2 1
若三阶矩阵A的特征值为2,3,4则,该矩阵的伴随矩阵A*的特征值为( )
(A)12,8,4 (B)12,8,6 (C)8,6,3 (D)6,3,2。
二、填空题:(每小题5分,共20分)
1
2
1
2
1.设A
0
1
t
t
,且线性方程组Ax
0的基础解系含有两个线性无关的解向量,则参
1
t
0
1
数t等于 。
2.设 =(,1
1
2,1)T, =(2,3,4)T, =(,3
2 3
4,3)T是R3的一组基,R3的向量
=(1,1,T关1)于这组基的坐标为 。
1 2
3.将 写成初等矩阵的乘积是 。
3 4
4.若二次型
f(x,x,x)
2x2
x2
x2
2xx
axx
是正定的,则a的取值范围
1 2 3
1
2
3
12
23
是 。
三、计算证明题:(共60分)
1.(8分)假设矩阵A和B满足关系式AB A 2B,求矩阵B。其中
4 2 3
A 1 1 0
1 2 3
2
1
1
2.(10分)已知向量
1,k,1T是矩阵A
1
2
1
的逆矩阵的特征向量,试求常数k
的值。
1
1
2
x x x 0
1 3 5
3.(12)求齐次线性方程组
x x 0,
2 4 的解空间的一组标准正交基。
x x x 0,
1 2 5
x x x 0
1 4 5
4.(10分)设A为二阶方阵,有二个不同的特征值
, ,对应特征向量依次为 , ,
1 2 1 2
令 , 证明: ,A 线性无关。
1 2
5.(15分)求正交变换x
Py,把二次型f(x,x,x)
x2
x2
x2
4xx
4xx
1 2 3
1
2
3
13
23
化为标准形。
n
6.(5分)齐次线性方程组Ax 0,其中A a 且 a
ijnn ij
j1
证明:矩阵A第一行元素的代数余子式相等。
0,i1,2,,n,
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