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*牛顿定律的初值敏感性混沌(chaos)对牛顿定律确定性的绝对化理解,在上世纪六十年代受到了挑战。1961年美国气象学家洛仑兹在研究大气对流对气候的影响时,用牛顿力学建立了一组非线性微分方程:(?,?,b为参数)1
初始值为0.506与0.506127的两条气象曲线:t初值敏感性结论:长期的天气预报是不可能准确的。气候对初始值的敏感性现象称为“蝴蝶效应”。2
运动对初始值的依赖性可以分为两类。第一类是运动情况一般地依赖初值:如单摆的自由小摆动(线性微分方程)。第二类是运动情况敏感地依赖初值:如气候的变化问题(非线性微分方程)。一般来说,服从非线性规律的非线性系统,对初始值表现出敏感性。介绍一个典型的非线性迭代方程的例子:3
0???4,0?x?1。若?=4,对三个初值有:4
对初值敏感引起的随机性,称为内在随机性,而结果的飘忽不定,称为混沌现象。混沌是在决定性动力学系统中出现的一种貌似随机的运动。在上面典型的非线性迭代方程中,还发现有“倍周期分叉”现象:当1???3时,迭代的归宿是一个确定的数?。▲例如:?=2.4时,x=x=7/12(n??),周期为1。n+1n当?≥3时,迭代出现多个确定的数值?。▲(?=3时,曲线开始分叉)5
例如:?=3.2时,一个?值对应的有两个?值,即其归宿轮流取两个值:x=x,0.7955→0.5130,周期为2。n+2n?=3.5时,与一个?值对应的有4个?值,即其归宿轮流取四个值:xn+4=xn,0.3828→0.8269↑↓周期为4。0.8750←0.5009当3.570≤?≤4时,最后归宿可取无穷多值,即出现混沌现象,周期为?。▲6
通过倍周期分叉走向混沌的道路,这是目前已知的一种典型方式,如下图所示:演示混沌摆(KL036)7
对天体运动的力学,三体和三体以上的问题只有数值解。如果两个质量相等的大天体M、M,123和一个质量小的天体M组成系统。在一定的初始条件下,计算出M的轨道如下图:3小天体长期轨道对初值敏感,不可预测。8
这种轨道不可长期预测的现象,称为天体运动中的混沌现象。对太阳系中的行星,并未观察到这种无序性,这是因为各行星都可看作是单独在太阳引力作用下运动,从而变成二体问题了。火星和土星之间有许多小行星。它们的轨道就有混沌现象,有的会进入地球大气层,成为流星。1992?1994年,SL?9慧星撞上木星,很可能就是小行星混沌运动的一种表现。9
混沌行为是长期的现象,大行星在几十亿年的运动中,也有可能出现混沌现象。牛顿力学内在随机性的发现,不是对牛顿力学的否定,而是对牛顿力学认识的深化。对初值敏感性的认识,民谣早有之:“缺掉一枚钉,坏了一支蹄铁;缺少一支蹄铁,跌翻了一匹马;翻了一匹马,死了一个骑马的勇士;死了这位骑马勇士,失去这场战争的胜利;失去了这个胜利,亡掉了这一帝国!”—乔治·赫伯特10
对混沌现象的研究是物理学的前沿和热点。世界上的非线性系统远远多于线性系统,这正像无理数远多于有理数一样,因此可以说,世界在本质上是非线性的。用《混沌学传奇》代序中的一段话做结束语:“混沌学之出现,是现代科学和现代技术,特别是和计算机技术相结合的产物。天文地理,数理化生,莫不混沌,大至宇宙,小至基本粒子,无不由此理论支配,威力之大,影响之深,应用之广,莫可言状。…”11
参考文献▲“混沌行为与牛顿力学的内在随机性”(杜婵英,漆安慎)《工科物理》1991.1▲“混沌现象及其在工科物理教学中的适量反映”(王殖东)《工科物理》1992.4▲《混沌学传奇》(卢侃,孙建华编译)▲《新概念物理教程》“力学”(赵凯华,罗蔚茵)—完—12
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