牛顿定律的初值敏感性课件.pptVIP

*牛顿定律的初值敏感性混沌（chaos）对牛顿定律确定性的绝对化理解，在上世纪六十年代受到了挑战。1961年美国气象学家洛仑兹在研究大气对流对气候的影响时，用牛顿力学建立了一组非线性微分方程：（?,?,b为参数）1

初始值为0.506与0.506127的两条气象曲线：t初值敏感性结论：长期的天气预报是不可能准确的。气候对初始值的敏感性现象称为“蝴蝶效应”。2

运动对初始值的依赖性可以分为两类。第一类是运动情况一般地依赖初值：如单摆的自由小摆动（线性微分方程）。第二类是运动情况敏感地依赖初值：如气候的变化问题（非线性微分方程）。一般来说，服从非线性规律的非线性系统，对初始值表现出敏感性。介绍一个典型的非线性迭代方程的例子：3

0???4，0?x?1。若?=4，对三个初值有：4

对初值敏感引起的随机性，称为内在随机性，而结果的飘忽不定，称为混沌现象。混沌是在决定性动力学系统中出现的一种貌似随机的运动。在上面典型的非线性迭代方程中，还发现有“倍周期分叉”现象：当1???3时,迭代的归宿是一个确定的数?。▲例如：?=2.4时，x=x=7/12(n??)，周期为1。n+1n当?≥3时,迭代出现多个确定的数值?。▲（?=3时，曲线开始分叉）5

例如：?=3.2时，一个?值对应的有两个?值，即其归宿轮流取两个值：x=x,0.7955→0.5130，周期为2。n+2n?=3.5时，与一个?值对应的有4个?值，即其归宿轮流取四个值：xn+4=xn,0.3828→0.8269↑↓周期为4。0.8750←0.5009当3.570≤?≤4时，最后归宿可取无穷多值，即出现混沌现象，周期为?。▲6

通过倍周期分叉走向混沌的道路，这是目前已知的一种典型方式，如下图所示：演示混沌摆(KL036)7

对天体运动的力学，三体和三体以上的问题只有数值解。如果两个质量相等的大天体M、M，123和一个质量小的天体M组成系统。在一定的初始条件下，计算出M的轨道如下图：3小天体长期轨道对初值敏感，不可预测。8

这种轨道不可长期预测的现象，称为天体运动中的混沌现象。对太阳系中的行星，并未观察到这种无序性，这是因为各行星都可看作是单独在太阳引力作用下运动，从而变成二体问题了。火星和土星之间有许多小行星。它们的轨道就有混沌现象，有的会进入地球大气层，成为流星。1992?1994年，SL?9慧星撞上木星，很可能就是小行星混沌运动的一种表现。9

混沌行为是长期的现象，大行星在几十亿年的运动中，也有可能出现混沌现象。牛顿力学内在随机性的发现，不是对牛顿力学的否定，而是对牛顿力学认识的深化。对初值敏感性的认识，民谣早有之：“缺掉一枚钉，坏了一支蹄铁；缺少一支蹄铁，跌翻了一匹马；翻了一匹马，死了一个骑马的勇士；死了这位骑马勇士，失去这场战争的胜利；失去了这个胜利，亡掉了这一帝国!”—乔治·赫伯特10

对混沌现象的研究是物理学的前沿和热点。世界上的非线性系统远远多于线性系统，这正像无理数远多于有理数一样，因此可以说，世界在本质上是非线性的。用《混沌学传奇》代序中的一段话做结束语：“混沌学之出现，是现代科学和现代技术，特别是和计算机技术相结合的产物。天文地理，数理化生，莫不混沌，大至宇宙，小至基本粒子，无不由此理论支配，威力之大，影响之深，应用之广，莫可言状。…”11

参考文献▲“混沌行为与牛顿力学的内在随机性”（杜婵英，漆安慎）《工科物理》1991.1▲“混沌现象及其在工科物理教学中的适量反映”（王殖东）《工科物理》1992.4▲《混沌学传奇》（卢侃，孙建华编译）▲《新概念物理教程》“力学”（赵凯华，罗蔚茵）—完—12