2.2.3 曲线及曲面的表示 (1).pptx

曲线及曲面的表示曲线和曲面是计算机图形学的重要研究内容。现代汽车、飞机、家电、船舶等产品的设计都要用到复杂的曲线和曲面，以实现产品外形设计的美观和物理性能的优化。新产品研发也不断对曲线、曲面提出新的要求。曲线和曲面的基本概念按照描述方式的不同，曲线和曲面可以分为两类：（1）规则曲线和曲面：圆、抛物线、螺旋线等曲线和球、圆柱、圆锥等曲面都可以用数学方程式表示，一般称为规则曲线和规则曲面。

曲线及曲面的表示（2）自由曲线和曲面有些曲线和曲面的形状不规则，如飞机机翼、汽车车身、人体外形、卡通形象等，难以用数学方程式表示，一般称为自由曲线和自由曲面。

曲线及曲面的表示（3）插值点：为提高曲线和曲面的输出精度，在型值点之间插入的一系列点。当用离散的坐标点来描述物体形状时，要求用最贴近这些点的函数式来描述。根据离散点与曲线（曲面）的相对关系，可以将离散点分为三种类型：（1）控制点：用来确定曲线和曲面的位置与形状，但相应曲线和曲面不一定经过该点。（2）型值点：用来确定曲线和曲面的位置与形状，相应曲线和曲面一定要经过该点。

曲线及曲面的表示（1）逼近（approach）在曲线、曲面的设计过程中，要根据应用需求得到最贴近上述点的函数描述。常用术语：（2）插值（interpolation）（3）光顺（fairness）（4）拟合（fitting）（5）光滑（smoothness）

曲线及曲面的表示曲线和曲面的参数化方程根据应用对象、场合和目的不同，曲线和曲面方程有参数和非参数两种表示方法，而非参数表示又可以分为显式表示和隐式表示。一条曲线上的点，各坐标变量之间存在一定关系。如果这种关系能以方程来描述，就得到该曲线的方程。例如：二维空间中，直线的方程为y=kx＋b，圆的方程为x2+y2=r2。如果曲线上各点的坐标变量之间关系简单，一个坐标能够用另一个坐标变量直接地表示出来，那么即可得到曲线的显式表示。1.非参数表示

曲线及曲面的表示显式方程不能表示多值曲线。即给定一个x值，只能得到一个y值和一个z值，而不能对应多个y值或z值。隐式方程克服了上述缺陷。隐式方程中只规定了各坐标变量之间的关系，而不要求变量之间必须是一对一的，或是多对一的。例如：圆的方程x2+y2=r2中，一个x可以对应两个y，一个y也可以对应两个x，只需满足x2+y2等于定值r2，该点就在圆上。因此，该方程是圆的隐式表示。

曲线及曲面的表示2.参数表示参数是指曲线方程中使用的自变量，当它在某个范围内改变时，对应坐标点在曲线上移动。参数曲线和曲面是指用参数作为自变量的函数曲线和曲面。设参数为t，则三维空间曲线的参数方程一般形式是：

曲线及曲面的表示

曲线及曲面的表示简单曲线的参数表示与隐式表示之间可以相互转化。一般地，将隐式方程转化为参数方程称为参数化；将参数方程转化为隐式方程称为隐式化。曲线和曲面的参数方程具有很多优点，主要有：①与坐标系无关。用参数方程描述的自由曲线和曲面与坐标系的选取无关。②参数方程对变量个数不限，便于用户将低维空间中的曲线、曲面扩展到高维空间。③参数化方程可以更自由地控制曲线、曲面的形状。

曲线及曲面的表示

曲线及曲面的表示

曲线及曲面的表示

曲线及曲面的表示

曲线及曲面的表示参数化曲线1.Bezier曲线2．B样条曲线3．非均匀有理B样条（NURBS曲线）

曲线及曲面的表示参数化曲面片的表达方法与参数化曲线相似，可以由两个方向的特征多边形来决定。两个方向的特征多边形构成特征网格，特征多边形的顶点就是特征网格的顶点。1．Bezier曲面2．B样条曲面3．NURBS曲面