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第七讲有趣的数阵图(二)
例1将1~7这七个自然数分别填入右图的7个小圆圈中,使三个大圆圆周上及内部的四个数之和都等于定数S,并指出这个定数S的取值范围,最小是多少,最大是多少?并对S最小值填出数阵.
分析为了叙述方便,用字母表示圆圈中的数.通过观察,我们发现,三个大圆上,每个大圆上都有4个小圆,由题设每个大圆上的4个小圆之和为S.从图中不难看出:B是三个圆的公共部分,A、C、D分别是两个圆的公共部分而E、F、G仅各自属于一个圆.这样三个大圆的数字和为:3S=3B+2A+2C+2D+E+F+G,而A、B、…、F、G这7个数的全体恰好是1、2、…、
6、7.
∴3S=1+2+3+4+5+6+7+2B+A+C+D.3S=28+2B+A+C+D.
如果设2B+A+C+D=W,要使S等于定数
即W最小发生于B=1、A=2、C=3、D=4W最大发生于B=7、A=6、C=5、D=4,综上所述,得出:
13≤S≤19即定数可以取13~19中间的整数.
本题要求S=13,那么A=2、B=1、C=3、D=4、E=5、F=6、G=7.
注意:解答这类问题常常抓两个要点,一是某种共同的“和数”S.
(同一条边上各数和,同一三角形上各数和,同一圆上各数和等等).
二是全局考虑数阵的各数被相加的“次”数.主要突破口是估算或确定出S的值.从“中心数”B处考虑.(B是三个大圆的公共部分,常根据S来设定B的可能值.这里重视B不是简单地看到B处于几何中心,主要
因为B参与相加的次数最多)此处因为定数是13,中心数可从1开始考虑.确定了S和中心数B,其他问题就容易解决了.
解:
例2把20以内的质数分别填入右图的八个圆圈中,使圈中用箭头连接起来的每条路上的四个数之和都相等.
分析观察右图,我们发现:
①有3条路,每条路上有4个数,且4个数相加的和要相等.
②图形两端的两个数是三条路的公共起点和终点.因此只要使三条路上其余两个数的和相等,就可以确保每条路上的四个数的和相等.
③20以内的质数共有8个,依次是2、3、5、7、11、13、17、19.如果能从这八个数中选出六个数凑成相等的三对数,问题就可迎刃而解.如要分析,设起点数为X,终点数为y,每条路上4个数之和为S,显然有:
3S=2x+2y+2+3+5+7+11+13+17+19
=2x+2y+77.
即S最小=29,此时x=2,y=3
但这时,中间二个质数之和为47-(19+13)=15,但17>15,17无处填.
所以S=47是无法实现的.
这题还另有一个独特的分析推理.即惟一的偶质数必处于起点或终点位上.不然,其他路上为4个质数之和,2处于中间位的路上.这条路为3奇1偶相加,另两条路上为4个奇相加,形成矛盾.
再进一步分析,(终点,始点地位对称)始点放上2,终点放上另一个质数,其他6个质数之和必为3的倍数.而经试算,只有终点放上3,而可满足的解法只有一种(已在下图中表出).
解:
这样,轻而举地可得到:5+19=24,7+17=24,11+13=24.
例3把1、2、3、4、5、6、7、8这八个数分别填入右图中的正方形的各个圆圈中,使得正方形每边上的三个数的和相等.
分析和解假设每边上的三数之和为S,四边上中间圆圈内所填数分别为a、b、c、d,那么:a+c=b+d=(1+2+…+8)-2S=36-2S
∴2S=36-(a+C)=36-(b+d)
①若S=15,则a+c=b+d=6,又1+5=2+4=6,试验可得下图
②若S=14,则a+c=b+d=8,又1+7=2+6=3+5=8,试验可得下两图
③若S=13,则a+c=b+d=10,又2+8=3+7=4+610,试验可得下两图
④若S=12,则a+c=b+d=12,又4+8=5+7=12,试验可得下图
例4在一个立方体各个顶点上分别填入1~9这九个数中的八个数,使得每个面上四个顶点所填数字之和彼此相等,并且这个和数不能被那个没有被标上的数字整除.
试求:没有被标上的数字是多少?并给出一种填数的方法.
分析为了叙述方便,设没有被标上的数字为a,S是每个面上的四个顶点上的数字之和.由于每个顶点数都属于3个面,所以得到:
6S=3×(1+2+3+4+5+6+7+8+9)-3a
6S=3×45-3a
2S=45-a(1)
根据(1)式可看出:因为左边2S是偶数,所以右边45-a也必须是偶数,故a必须是奇数.又因为根据题意,S不能被a整除,
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