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厦门大学《线代参考答案》课程试卷
主考教师:线性代数教学组 试卷类型:(A卷)
==================================================================
一、填空题
1.54; 2. 1
31
(7E?A); 3. ?,?,? ;
1 2 4
?0 0 1?
? ?
4. (1,2,3,4)T?k(1,1,1,1)T; 5.?1 0 0?; 6.2.
?0 1 0?
? ?
二、单项选择题:
1.C; 2.A; 3.C; 4.A; 5.C; 6.A
三、计算题:
?1?
?2 ?1 2?
?1?
1.解:A?PQ??2?(2?12)??4 ?2 4?,QP?(2 ?12)?2??2。
? ? ? ? ? ?
?1?
?2 ?1 2?
?1?
? ? ? ? ? ?
A2?PQ? PQ?(P Q)P?Q2 P?Q2. A
?2 ?1 2?
? ?
? ?A100?PQ?PQ PQ?P(QP)(QP) (QP)Q?2 9A9?
? ?
???????
?949 ?2 4?。
?2 ?1 2?
100个PQ
解:(1)求(I)的基础解系
(I)的系数矩阵为A??1 1 0 0???1
? ?
0 0 1?
?0 1 0 ?1? ?0 1 0 ?1?
?
故(I)的基础解系为:?
1
?
?(0,0,1,0)T,?
2
? ?
?(?1,1,0,1)T.
(2)求(I)与(II)的非零公共解。
方法1 由(I),(II)的通解表达式相等,得
k(0,1,1,0)T
1
?k(?1,2,2,1)T
2
?k(0,0,1,0)T?k
3 4
(?1,1,0,1)T。
?0 ?1 0 1??k
? ? ?0 ?0 ?1 0 1?
? 1 0
0 ?1
?1 2 0 ?
?1?k1? ?
?0 ?1 2 0 ? 1?
? 0 1 ?0 ?1
即 ? ?? 2??? ? 因 ?
??r??? ?,
?1 2 ?1 0??k? ? ?0 ?1 2 ?1 0? ? 0 0 ?1? 1
?? ?? 3? ? ?
?
0 1 0 ? k
? ? ?
4? ?1?
4
? ? ?0
?0 1 0 ??1
? 0 0
0?0
故上述方程组的解为k(?1,1,1,1)T,于是(I),(II)的所有非零公共解为k(?1,1,1,1),k?0为任意常数。
方法2 把(II)的通解代入方程组(I),则有
??k
? 2
k?2k
1 2
?0,得解k
??k,
?k?2k ?k ?0 1 2
?
1 2 2
于是向量k
1
(0,1,1,T0?)k
2
?( 1,2T,2?,?1k)
2
(0?,k1,1?,0)
2
?(k1,?2,2,,11,)1)是方(程1,组1
2
(I)、(II)的公共解,令k ?k,则上述方程组的所有非零公共解为k(?1,1,1,1),其中k为任
2
意非零常数。
解:由于|A|??1?0,所以A为可逆矩阵。又AA*?|A|E??E.把等式A*BA?2BA?9E两
边同时左乘A,右乘A?1,得?B?2AB?9E,即(2A+E)B=9E。
3
2
0
由于|2A?E|?
0
3
0
??9?0,所以(2A?E)?1存在,故B?9(2A?E)?1。由
0
0
?1
?1 0 0 ? 1 ?2 0?
?
??3 2 0?1 0 0? ?
?
3 9 ?
?0 3 0?0 1 0??r???0 1 0 ? 0 1 0?得
? ? ? 3 ?
?0 0 ?1?0 0 1? ? ?
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?1 ?2
?0 0 1 ? 0 0 ?1?
? ?
0?
??3 9
?
?
? ?3 ?2 0?
(2A?E)?1??0 1 0?,故B??0 3 0?。
? 3 ? ? ?
? ??
? ?
?
?
?1?
?
?
?0 0 ?9?
?a 0 b?
??解:(1)二次型f的矩阵为A??0 2 0?,设A的特征值为?
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