热传导问题的数值解法课件.pptVIP

第4章热传导问题的数值解法4.1导热问题数值求解的基本思想4.2内节点离散方程的建立方法4.3边界节点离散方程的建立及代数方程的求解4.4非稳态导热问题的数值解法

4.1导热问题数值求解的基本思想4.1.1基本思想4.1.2导热问题数值求解的基本步骤返回

4.1.1基本思想n数值解：用导热体内有限个离散点上的温度值的集合来代替实际连续的温度场分布n数值解获取方法：通过求解按一定方法建立起来的关于离散点上所求物理量的代数方程组，来获得离散点上所求物理量的数值返回

4.1.2导热问题数值求解的基本步骤1.建立所求问题的数学描述2.确定导热体内的离散节点（区域离散化）3.建立节点物理量的代数方程4.设立温度场的迭代初值5.求解代数方程组6.解的分析

1.数学描述n二维矩形区域内的稳态、无内热源、常物性导热问题

2.区域离散化?网格划分：用一系列与坐标轴平行网格线把求解区域划分成许多子区域?节点:网格线的交点，是需要确定温度值的空间位置。分内节点和外节点两大类?步长：相邻两节点间距离，x和y方向可不相等，在一个方向步长也可不均匀?控制容积:节点代表的区域,由相邻两节点连线的中垂线构成，也叫元体?界面:控制容积的边界?均分网格:

3.建立节点物理量的代数方程关于节点物理量的代数方程也称离散方程，建立离散方程是数值求解过程中的重要环节，包括计算区域内部和外部节点的离散方程，是本章的重点内容。4.设立温度场的迭代初值节点代数方程组的求解一般采用迭代法，这时需要对被求解的温度场预先假定一个初始温度分布，称为初场5.求解代数方程组选用能够得到收敛解的代数方程组求解方法6.解的分析对数值解的结果进行分析，得到有用的结论以指导生产和设计返回

4.2内节点离散方程的建立方法n包括Taylor级数展开法和热平衡法4.2.1Taylor级数展开法4.2.2热平衡法（热力学第一定律）返回

4.2.1Taylor级数展开法n首先推导温度在x方向二阶导数的代数表达式n对节点(m+1,n)和节点(m-1,n)分别写出t对节点(m,n)的Taylor级数展开:n两式相加得:

n略去截断误差，得到温度在x方向二阶导数的中心差分表达式:n同理,得温度在y方向二阶导数的中心差分表达式:

n将差分表达式代入控制方程得:则有:n如果

n在均分网格中，一、二阶导数常见的差分表达式如下表所示：返回

4.2.2热平衡法（热力学第一定律）?nn热平衡法不是在控制方程的基础上进行离散，而是直接对元体应用热力学第一定律和傅里叶定律，从而得到该节点温度的离散方程。??wen二维稳态常导热系数无内热源的稳态导热问题，对元体(m,n)列出能量守恒方程：?s?从元体西界面导入的热量为:?从元体东界面导入的热量为:?从元体北界面导入的热量为:?从元体南界面导入的热量为:

n将各表达式代入对元体(m,n)能量守恒方程得：?n?w?e?sn整理得:n所得结果与Taylor级数法结果相同n采用热平衡法建立节点的离散方程，物理概念清晰，推导过程简单，并且对于建立边界节点的离散方程也能适用，需要很好的掌握。返回

4.3边界节点离散方程的建立及代数方程的求解4.3.1边界节点离散方程的建立4.3.2处理不规则区域的阶梯型逼近法（不要求）4.3.3求解代数方程的迭代法返回

4.3.1边界节点离散方程的建立n边界节点的离散方程的形式与边界条件的类型有关一、第一类边界条件情形n如果所有边界均为第一类边界条件类型，由于此时边界温度值为已知，所有内节点的离散方程组成了一个封闭的代数方程组，可以封闭求解。因此这种情形边界节点不需要离散方程。

二、第二类边界条件情形n此时边界温度值未知，需建立边界节点温度的离散方程。n设边界热流密度为qw，并且导热体内有内热源，下面采用元体能量平衡法来建立边界节点温度的离散方程。1、平直边界上的节点n边界节点(m,n)代表的区域为半个普通大小元体。对该半个元体应用能量平衡（稳态情形），则有：n如

2、边界上的外部角点n边界节点D代表的区域为1/4个普通元体大小的面积。对该外部节点元体应用能量平衡n如，则有：

3、边界上的内部角点n边界节点F代表的区域为3/4个普通元体大小的面积。对该外部节点元体应用能量平衡，则有：n如

三、第三类边界条件情形n将该热流密度的表达式代入第二类边界条件中，可得第三类边界条件下边界节点的离散方程。n对于Δx=Δy的情形，有:?平直边界节点：?外部角点：?内部角点：返回

4.3.2处理不规则区域的阶梯型逼近法n不要求掌握返回

4.3.3求解代数方程的迭代法n代数方程组的求解方法分为直接解法