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第二十四章圆24.1.4圆周角
问题1什么叫圆心角?指出图中的圆心角?顶点在圆心的角叫圆心角,∠BOC.问题2如图,∠BAC的顶点和边有哪些特点?A∠BAC的顶点在☉O上,角的两边分别交☉O于B、C两点.
顶点在圆上,并且两边都与圆相交的角叫做圆周角.(两个条件必须同时具备,缺一不可)(一)圆周角的定义
·COAB·COB·COBAA·COAB·CO(4)·COBAA判一判:下列各图中的∠BAC是否为圆周角并简述理由.(1)(3)(5)(6)顶点不在圆上顶点不在圆上边AC没有和圆相交√√√(2)
如图,连接BO,CO,得圆心角∠BOC.试猜想∠BAC与∠BOC存在怎样的数量关系.(二)圆周角定理及其推论测量与猜测
圆心O在∠BAC的内部圆心O在∠BAC的一边上圆心O在∠BAC的外部推导与论证
圆心O在∠BAC的一边上(特殊情形)OA=OC∠A=∠C∠BOC=∠A+∠C
OABDOACDOABCD圆心O在∠BAC的内部OACDOABD
OABDCOADCOABDCOADOABDCOADOABD圆心O在∠BAC的外部
圆周角定理:一条弧所对的圆周角等于该弧它所对的圆心角的一半;圆周角定理
DABOCEF问题1如图,若弧CD等于弧EF,∠A与∠B相等吗?相等想一想:(1)反过来,若∠A=∠B,那么弧CD等于弧EF成立吗?(2)若CD是直径,你能求出∠A的度数吗?∵弧CD等于弧EF,?∴∠COD=∠EOF∴∠A=∠B
圆周角定理的推论同弧或等弧所对的圆周角相等.A1A2A3
问题2如图,线段AB是☉O的直径,点C是☉O上的任意一点(除点A、B外),那么,∠ABC就是直径AB所对的圆周角,想一想,∠ACB会是怎样的角?·OACB解:∵OA=OB=OC,∴△AOC、△BOC都是等腰三角形.∴∠OAC=∠OCA,∠OBC=∠OCB.又∵∠OAC+∠OBC+∠ACB=180°.∴∠ACB=∠OCA+∠OCB=180°÷2=90°.
圆周角和直径的关系圆周角和直径的关系:半圆或直径所对的圆周角都相等,都等于90°.
如果一个多边形所有顶点都在同一个圆上,这个多边形叫做圆内接多边形,这个圆叫做这个多边形的外接圆.(三)圆内接多边形
如图,四边形ABCD为⊙O的内接四边形,⊙O为四边形ABCD的外接圆.探究性质猜想:∠A与∠C,∠B与∠D之间的关系为:∠A+∠C=180o,∠B+∠D=180o想一想:如何证明你的猜想呢?
∵弧BCD和弧BAD所对的圆心角的和是周角,∴∠A+∠C=180°,同理∠B+∠D=180°,证明猜想归纳总结推论:圆的内接四边形的对角互补.
CODBA∵弧BCD和弧BAD所对的圆心角的和是周角,∴∠A+∠C=180°,同理∠B+∠D=180°,E延长BC到点E,有∠BCD+∠DCE=180°.∴∠A=∠DCE.图中∠A与∠DCE的大小有何关系?
归纳总结推论:圆的内接四边形的任何一个外角都等于它的内对角.CODBAE
例1如图,⊙O的直径AC为10cm,弦AD为6cm.(1)求DC的长;(2)若∠ADC的平分线交⊙O于B,求AB、BC的长.B解:(1)∵AC是直径,∴∠ADC=90°.在Rt△ADC中,
在Rt△ABC中,AB2+BC2=AC2,(2)∵AC是直径,∴∠ABC=90°.∵BD平分∠ADC,∴∠ADB=∠CDB.又∵∠ACB=∠ADB,∠BAC=∠BDC.∴∠BAC=∠ACB,∴AB=BC.B解答圆周角有关问题时,若题中出现“直径”这个条件,则考虑构造直角三角形来求解.
例2如图,BD是⊙O的直径,∠CBD=30°,则∠A的度数为()A.30°B.45°C.60°D.75°解析:∵BD是⊙O的直径,∴∠BCD=90°.∵∠CBD=30°,∴∠D=60°,∴∠A=∠D=60°.故选C.方法总结:在圆中,如果有直径,一般要找直径所对的圆周角,构造直角三角形解题.C
1.如图,AB为⊙O的直径,CF⊥AB于E,交⊙O于D,AF交⊙O于G.求证:∠FGD=∠ADC.证明:∵四边形ACDG内接于⊙O,∴∠FGD=∠ACD.又∵AB为⊙O的直径,CF⊥AB于E,∴AB垂直平分CD,∴AC=AD,∴∠ADC=∠ACD,∴∠FGD=∠ADC.方法总结:圆内接四边形的性质是沟通角相等关系的重要依据.
解:设∠A,∠B,∠C
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