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第24讲巧解最值应用问题
巧点晴——方法和技巧
生产和生活中有许多最值问题,需要我们结合实际,灵活地选择
方法进行解答。常用解题方法有:①逆推,②列表,③比较等。
巧指导——例题精讲
A级冲刺名校·基础点晴
【例1】有10位小朋友,其中任意5人的平均身高不小于1.5米,
那么,其中身高小于1.5米的小貊了多有几人?
分析与解本题从正面似乎很难入手,但当我们抓住关键词“任
意5人”、“不小于1.5米”,从反而入手却很易得解。
题目要求的是“身高小于1.5米的小朋友最多有几人”,我们不
妨考虑任意5人中身高不小于1.5米的最少有几人。由题设“任意5
人的平均身高不小于1.5米”,可知任意5人中身高不小于1.5米的至
少有1人;否则若身高不小于1.5米的人一个都没有,其平均身高就
不可能大于1.5米。所以任意5人中身高小于1.5米的最多有4人。
也可以这样考虑,反设有5个或多于5个小朋友的身高小于1.5
米,我们就从10个小朋友中选这5人出来,他们的平均身高就一定
小于1.5米,与题目给定的条件矛盾,所以身高小于1.5米的小朋友
最多有4人。
答:身高小于1.5米的小朋友最多有4人。
做一做工有四袋糖块,其中任意三袋的总和都超过60块,那
么这四袋糖块的总和至少有多少块?
【例2】5个空瓶可以换一瓶汽水。某班同学共喝了161瓶汽水,
其中有些是用喝完的汽水瓶换来的,那么,他们至少要买多少瓶汽
水?
解法院(逆推法)首先弄清楚什么情况下所买的汽水最少,显
然是所有空瓶都换成汽水,最后只剩一个空瓶的情况是买汽水最少
的。
我们设想最后1瓶汽水是由此个空瓶换来的,而这5个空瓶中的
汽水又是由5×5个空瓶换来的,再推下去,25个空瓶的汽水又是由
125个空瓶换来的,这一方案一直没有花钱买汽水,当然是最优的。
从这里可以看出,只要买125瓶汽水,就可以喝到125+25+5
+1=156(瓶)汽水,并剩一个空瓶,再买4瓶汽水喝完后加上剩下
的一个空瓶又可换一瓶汽水,如此就可喝到161瓶汽水,而只要买
125+4=129(瓶)汽水即可。
解法2我们将买最少瓶汽水的总是转换成花最少的钱喝161瓶
汽水的问题。怎样才能使同学们喝到161瓶汽车又花钱最少?答案只
有一个,就是将所有的汽水瓶全部退给店主换成钱。
设每瓶汽水1元钱,喝161瓶汽车花161元,每5个空瓶值1元,
161÷5=32余1。161个空瓶换321元,161-321=1284元,即至少要
555
买129瓶汽水。
解法3根据“5个空瓶可换1瓶汽水”(连汽水带瓶子)可知,
1
每4个空瓶就能换到一瓶汽水(不带瓶),所以每个空瓶可换瓶汽
4
1
水。也就是说,买一瓶汽水实际能喝到1+瓶汽水。因此,喝161
4
瓶汽水至少要买:
1
161÷(1+)=128.8≈129(瓶)
4
答:他们至少要买129瓶汽水。
做一做25个空瓶可以换一瓶汽水,某班同学喝了120瓶汽水,
那么,他们至少要买多少瓶汽水?
【例3】某县农机厂金工车间共有77个工人。已知每天每个工
人平均可加工甲种部件5个,或乙种部件4个,或丙种部件3个。每
个甲种部件
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