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福建省福州市2021-2022学年高一数学下学期期中试卷
(完卷120分钟???满分160分)
参考公式:球的表面积公式(R为球的半径)
一、选择题:本题共8小题,每小题5分,共40分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.
1.若复数,则(???????)
A.2 B. C.4 D.5
2.已知向量,,若,则实数(???????).
A.1 B. C. D.
3.在中,角A,B,C所对的边分别为a,b,c,若,,则角的最大值为(???????)
A. B. C. D.
4.P是所在平面内一点,若,则(???????)
A. B. C. D.
5.已知向量,是单位向量,若,则与的夹角为(???????)
A. B. C. D.
6.已知正方体棱长为2,M,N,P分别是棱、、的中点,则平面截正方体所得的多边形的周长为(???????)
A. B. C. D.
7.表面积为的球,其内接正四棱柱(底面是正方形的直棱柱)的高是14,则这个正四棱柱的表面积等于(???????)
A.567 B.576 C.240 D.
8.中,已知,设D是边的中点,且的面积为,则等于(???????)
A.2 B.4 C.-4 D.-2
二、选择题:本题共4小题,每小题5分,共20分.在每小题给出的选项中,有多项符合题目要求.全部选对的得5分,有选错的得0分,部分选对的得2分.
9.m,n是空间中不同的直线,,,y是不同的平面,则下列说法正确的是(???????)
A.若,,,则
B.若,,,则
C.若,,则
D.若l,m是两条异面直线,且,,,,则
10.设,,为复数,.下列命题中正确的是(???????)
A.若,则 B.若,则
C.若,则 D.若,则
11.如图所示,设、是平面内相交成角的两条数轴,、分别是与、轴正方向同向的单位向量,则称平面坐标系为仿射坐标系,若,则把有序数对叫做向量的仿射坐标,记为.在的仿射坐标系中,,.则下列结论中,正确的是(???????)
A. B.
C. D.在上的投影向量为
12.在中,,,,为所在平面内的一点,,则的值可能为(???????)
A. B. C. D.
三、填空题:本题共4小题,每小题5分,共20分.
13.若平面向量、满足,,则的取值范围是_________.
14.在中,,,若此三角形恰有两解,则边长度的取值范围为_________.
15.沙漏是古代的一种计时装置,它由两个形状完全相同的容器和一个狭窄的连接管道组成,开始时细沙全部在上部容器中,利用细沙全部流到下部容器所需要的时间进行计时.如图,某沙漏由上、下两个圆锥组成,这两个圆锥的底面直径和高分别相等,细沙全部在上部时,其高度为圆锥高度(h)的(细管长度忽略不计).假设细沙全部漏入下部后,恰好堆成一个盖住沙漏底部的圆锥形沙堆.这个沙堆的高与圆锥的高h的比值为______.
16.已知等边,D是外的一点,且,,则平面四边形的面积的最大值是_________.
四、解答题:本题共6小题,共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
17.已知复数,若存在实数,使成立.
(1)求的值;
(2)求的最小值
18.在①,②,③这三个条件中任选一个,补充在下面的横线上,并解答.
在中,角A,B,C所对的边分别为a,b,c,且_________.
(1)求角C的大小;
(2)若,,求的面积.
注:如果选择多个条件分别解答,按第一个解答计分.
19.已知梯形中,,,E为的中点,F为与的交点,.
(1)求和的值;
(2)若,,,求与所成角的余弦值.
20.如图,在四棱锥中,底面为平行四边形,E为棱的中点,平面与棱交于点F.
(1)求证:平面;
(2)求证:F为的中点;
(3)在棱上是否存在点N,使得平面?若存在,求出的值;若不存在,说明理由.
21.已知中,角A,B,C所对的边分别为a,b,c,点D在边上,为的角平分线..
(1)求;
(2)若,求的大小.
22.如图为一块边长为8km的等边三角形地块,为改善市民生活环境,当地政府有计划对这块地进行改造,在、、上分别选取点D、E、F使,在四边形区域内种植草坪,其余区域修建停车场,设.
(1)当D为中点且时,求草坪的面积;
(2)若在改造的过程中,因实际需要,D与B、C的距离都不少于2km,求草坪的面积的最大值,并求出此时的值.
答案
1-8BCBABCBA9.ACD10.ABC11.AD12.BD
13.
14.
15.
16.
17.(1),
,解得
(2)即的最小值为
18.(1)选①:由正弦定理得:,而,
所以,
整理得:,又,可得,
而,则.
选②:由正弦定理得:,而,
所以,
则,而,可得,
而,则.
选③:由正弦定理得:,而且,
则,又,
所以,则,即.
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