新工科数学基础三 线性代数及Python实现 课件 4.1 -4.3 向量及其线性运算.ppt

向量组B：b1,b2,…,bl能由向量组A：a1,a2,…,am线性表示 存在矩阵K，使得AK=B 矩阵方程AX=B有解 R(A)=R(A,B)（P.80定理1） R(B)≤R(A)（P.114推论）定理7：向量组A：a1,a2,…,am及B：b1,b2,…,bl等价的充分必要条件是R(A)=R(B)=R(A,B)．证明：向量组A和B等价向量组B能由向量组A线性表示向量组A能由向量组B线性表示从而有R(A)=R(B)=R(A,B)．因为R(B)≤R(A,B)R(A)=R(A,B)R(B)=R(A,B)4.3.2向量组的秩定义11：设有向量组A，如果在A中能选出r个向量a1,a2,…,ar，满足向量组A0：a1,a2,…,ar线性无关；向量组A中任意r+1个向量（如果A中有r+1个向量的话）都线性相关；那么称向量组A0是向量组A的一个最大线性无关向量组，简称最大无关组（极大无关组）．最大无关组所含向量个数r称为向量组A的秩，记作R(A)或R(a1,a2,…,ar).n元线性方程组Ax=b其中A是m×n矩阵矩阵(A,b)向量组A:a1,a2,…,an及向量b是否存在解？R(A)=R(A,b)成立？向量b能否由向量组A线性表示？无解R(A)R(A,b)NO有解R(A)=R(A,b)YESx的分量是线性组合的系数唯一解R(A)=R(A,b)=未知数个数表达式唯一无穷解R(A)=R(A,b)未知数个数表达式不唯一矩阵线性方程组有限向量组系数矩阵增广矩阵有限向量组与矩阵一一对应Ax=b有解当且仅当向量b可由矩阵A的列向量组线性表示例：求矩阵的秩，并求A的一个最高阶非零子式．4.3.3矩阵的秩和向量组的秩的关系回顾矩阵的秩第二步求A的最高阶非零子式．选取行阶梯形矩阵中非零行的第一个非零元所在的列，与之对应的是选取矩阵A的第一、二、四列．解：第一步先用初等行变换把矩阵化成行阶梯形矩阵．行阶梯形矩阵有3个非零行，故R(A)=3．R(A0)=3，计算A0的前3行构成的子式因此这就是A的一个最高阶非零子式．结论：矩阵的最高阶非零子式一般不是唯一的，但矩阵的秩是唯一的．事实上，根据R(A0)=3可知：A0的3个列向量就是矩阵A的列向量组的一个线性无关的部分组．在矩阵A任取4个列向量，根据R(A)=3可知：A中所有4阶子式都等于零，从而这4个列向量所对应的矩阵的秩小于4，即这4个列向量线性相关．A0的3个列向量就是矩阵A的列向量组的一个最大线性无关组．矩阵A的列向量组的秩等于3．同理可证，矩阵A的行向量组的秩也等于3．一般地，矩阵的秩等于它的列向量组的秩． 矩阵的秩等于它的行向量组的秩．（P.115定理8）若Dr是矩阵A的一个最高阶非零子式，则Dr所在的r列是A的列向量组的一个最大无关组，Dr所在的r行是A的行向量组的一个最大无关组．向量组的最大无关组一般是不唯一的．例：已知试讨论向量组a1,a2,a3及向量组a1,a2的线性相关性．解：可见R(a1,a2)=2，故向量组a1,a2线性无关，同时，R(a1,a2,a3)=2，故向量组a1,a2,a3线性相关，从而a1,a2是向量组a1,a2,a3的一个最大无关组．事实上，a1,a3和a2,a3也是最大无关组．最大无关组的意义结论：向量组A和它自己的最大无关组A0是等价的．用A0来代表A，掌握了最大无关组，就掌握了向量组的全体． 例：全体n维向量构成的向量组记作Rn，求Rn的一个最大无关组及Rn的秩．解：n阶单位矩阵