高中数学人教A版立体几何与空间向量知识要点.docx

立体几何与空间向量知识要点

高二（1）班2015年12月17日

空间点线面的位置关系：

直线与直线的位置关系：（平行，相交，异面）；直线与平面的位置关系：（平行，相交，在平面内）；平面与平面的位置关系：（平行，相交）．

直线与直线所成的角：通过平行移动使之相交而成，其范围为??(0?,90?]；

直线与平面所成的角：直线在平面内的射影与直线所成的角，其范围为??(0?,90?]；

平面与平面所成的角（二面角）：在两个半平面内作棱的垂线交同一点而成，其范围为??[0?,180?]．

①

①

②

线线平行

③

线面平行

面面平行

④

⑧

⑤⑥线线垂直 线面垂直⑦面面垂直直线与平面的平行

⑤

⑥

线线垂直 线面垂直

⑦

面面垂直

编号 作用

文字语言

符号语言

图形语言

线面平行的判定定理： 如果不在一个平面内的一条直线和平

① 线线平行?线面平行 面内的一条直线平行，那么这条直线平

行于这个平面．

面面平行的判定定理： 如果一个平面内有两条相交直线分别

l???

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?

?l//m?

?

?a??,b???

?

② 线面平行?面面平行 平行于另一个平面内的直线，那么这两

个平面平行．

a?b?P ???//?

?a//?,b//??

?

线面平行的性质定理： 如果一条直线和一个平面平行，经过这

?③ 线面平行?线线平行 条直线的平面和这个平面相交，那么这

?

l//?

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?

???l//m

?

条直线和交线平行．

面面平行的性质定理： 如果两个平行平面同时与第三个平面

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?//? ?

④ 面面平行?线线平行 相交，那么它们的交线平行．

线面垂直的判定定理： 如果一个直线和一个平面内的两条相

????l??l//m

??????m?

?

?

?m??,n???

?

⑤ 线线垂直?线面垂直 交直线都垂直，那么这条直线垂直于这

个平面．

面面垂直的判定定理： 如果一个平面过另一个平面的一条垂

⑥ 线面垂直?面面垂直 线，那么这两个平面互相垂直．

面面垂直的性质定理： 如果两个平面互相垂直，那么在一个平

m?n?P ??l??

?l?m,l?n?

?

a???a?????

a???

?

????,????m?

?

⑦ 面面垂直?线面垂直 面内垂直于它们交线的直线垂直于另

一个平面．

线面垂直的性质定理： 如果两条直线同时垂直于一个平面，那

⑧ 线面垂直?线线平行 么这两条直线平行．

l?? ??l??

?l?m ?

?

a???a//b??

a???

?

三视图与直观图：正视图，侧视图，俯视图．规则：长对正，高平齐，宽相等．

几何体表面积和体积（记忆公式）：多面体表面积为各面面积之和，旋转体的表面积为：

S ?2?r(r?l)，S

圆柱 圆锥

??r(r?l)，S

圆台

??(r2?r?2?rl?r?l)，S

球

?4?R2；

体积为：V

＝sh，V

1

＝ sh，V

＝1(s?s??

ss?)h，V

4

＝ ?R3．

柱体

四个公理．

锥体 3

台体 3

球体 3

向量的直角坐标运算：

???

?? ?

? ?? ?

? ?? ?? ?

? ? ??

设a x，y，z

，b?

x，y，z

，则a?b?

x?x,y

?y,z?z； a? x, y, z

；a?b?xx

yy?zz．

x2?

x2?y2?z2

1 1 1

?

??

a?a

2 2 2

1 2 1

2 1 2 1 1

121 212x2?y2

12

1 2

12

x2?y2?z2 x2?y2?z2

1 1 1 2 2 2

1 12

yy ?zz |

12 12

向量长度：|a|? ?

；两向量夹角：cos?a,b?? ；

平行条件：?//??x

??x

,y??y,z

??z

,???R?；垂直条件：????xx

yy

zz

?0；

a b

1 2 1 2 1 2

a b

1 2 1 2 12

设A=?x

1

,y,z

1 1

?，B=?x

2

,y,z

2 2

?，则