新工科数学基础三 线性代数及Python实现 课件 5.1 方阵的特征值与特征向量.ppt

假设则由性质1可知是对应的特征向量，再由性质2与上式(a)可推出矛盾，因此又由线性无关，有故性质的结论成立。记则(a)对于n阶矩阵A，如果l0是A的特征方程的k重根，则矩阵A对应于特征值l0的线性无关的特征向量的五、特征向量的性质性质4个数表明对于n阶矩阵A，不一定能找到n个线性无关的特征向量，除非对于A中的任意一个特征值，其线性无关的特征向量的个数正好等于该特征值的重数。*第5章相似矩阵与二次型*第5章相似矩阵与二次型§5.2方阵的特征值与特征向量5.1方阵的特征值与特征向量广东工业大学*一、问题的引入引例种群增长模型设x代表某种群C的数量，y代表某种群D的数量，初态为一年后的状态为：即则第k年后的状态为：问题如何计算？(工业增长模型)(某国的工业增长水平)(该国的环境污染程度)一、问题的引入1.初步设想若存在一个可逆矩阵P，使得则进一步有且这两个向量必须线性无关且这两个向量必须线性无关2.简单分析一、问题的引入寻找一个可逆矩阵P，使得即记则对二阶方阵A寻找两个向量它们被A左乘后正好等于自己的某个倍数一、问题的引入3.一般性问题的提出对于方阵A，求向量X和(实)数l，使得比如，对于矩阵则有令从而有二、基本概念定义1设A为n阶方阵，如果存在数l0和n维非零向量X则称数l0为方阵A的特征值，非零使得AX=l0X，向量X称为A的属于特征值l0的特征向量。比如，若X是矩阵A的属于特征值l0的特征向量，(2)属于同一个特征值的特征向量不是惟一的。则也是A的属于特征值l0的特征向量。1.特征值与特征向量注意(1)特征值l0可以为零；由有该方程组有非零解的充要条件是分析二、基本概念1.特征值与特征向量2.特征多项式记定义则称为方阵A的特征多项式；称为方阵A的特征方程。特征多项式是l的n次多项式，特征多项式“具体”形式其中，称为A的迹，即记为由于特征方程在复数范围内恒有解，且其解的个数为特征方程的次数，步骤(1)求解特征方程得到特征值。值(重根按重数计算)。(2)设l=li是方阵A的一个特征值，则X就是A的求解齐次线性方得到非零解程组对应于特征值li的特征向量。三、特征值与特征向量的求解方法因此n阶方阵有n个特征例求矩阵的特征值与特征向量。解(1)A的特征多项式为故A的特征值为(单根)(单根)(2)当时，求解得基础解系为故A的属于特征值的所有特征向量为由有(3)当时，求解得基础解系为故A的属于特征值的所有特征向量为由有解(1)A的特征多项式为故A的特征值为(单根)(重根)(2)当时，求解得基础解系为故A的属于特征值的所有特征向量为由有(3)当时，求解得基础解系为由有故A的对应于特征值的所有特征向量为例求矩阵的特征值与特征向量。解(1)A的特征多项式为故A的特征值为(单根)(重根)求解得基础解系为故A的对应于特征值的所有特征向量为(2)当时，由有(3)当时，由