新工科数学基础三 线性代数及Python实现 课件 第4章 向量组的相关性及向量空间.ppt

alaL={la|l∈R}L={la+mb|l,m∈R}abcL={la+mb+gc|l,m,g∈R}lambgcablambalaL={la|l∈R}L={la+mb|l,m∈R}abcL={la+mb+gc|l,m,g∈R}lambgcablamb一般地，矩阵的秩等于它的列向量组的秩． 矩阵的秩等于它的行向量组的秩．（P.115定理8）若Dr是矩阵A的一个最高阶非零子式，则Dr所在的r列是A的列向量组的一个最大无关组，Dr所在的r行是A的行向量组的一个最大无关组．向量组的最大无关组一般是不唯一的．例：已知试讨论向量组a1,a2,a3及向量组a1,a2的线性相关性．解：可见R(a1,a2)=2，故向量组a1,a2线性无关，同时，R(a1,a2,a3)=2，故向量组a1,a2,a3线性相关，从而a1,a2是向量组a1,a2,a3的一个最大无关组．事实上，a1,a3和a2,a3也是最大无关组．最大无关组的意义结论：向量组A和它自己的最大无关组A0是等价的．用A0来代表A，掌握了最大无关组，就掌握了向量组的全体． 例：全体n维向量构成的向量组记作Rn，求Rn的一个最大无关组及Rn的秩．解：n阶单位矩阵的列向量组是Rn的一个最大无关组，Rn的秩等于n．思考：上三角形矩阵的列向量组是Rn的一个最大无关组吗？(是)例：求矩阵的秩，并求A的一个最高阶非零子式．例：设矩阵求矩阵A的列向量组的一个最大无关组，并把不属于最大无关组的列向量用最大无关组线性表示．第二步求A的最高阶非零子式．选取行阶梯形矩阵中非零行的第一个非零元所在的列，与之对应的是选取矩阵A的第一、二、四列．解：第一步先用初等行变换把矩阵化成行阶梯形矩阵．行阶梯形矩阵有3个非零行，故R(A)=3．R(A0)=3，计算A0的前3行构成的子式因此这就是A的一个最高阶非零子式．A0的3个列向量就是矩阵A的列向量组的一个最大无关组．思考：如何把a3,a5表示成a1,a2,a4的线性组合？思路1：思路2：利用矩阵A的行最简形矩阵．向量b能由向量组A线性表示线性方程组Ax=b有解令A0=(a1,a2,a4)求解A0x=a3A0x=a5解（续）：为把a3,a5表示成a1,a2,a4的线性组合，把矩阵A再变成行最简形矩阵于是Ax=0与Bx=0，即x1a1+x2a2+x3a3+x4a4+x5a5=0x1b1+x2b2+x3b3+x4b4+x5b5=0同解．即矩阵A的列向量组与矩阵B的列向量组有相同的线性关系.可以看出： b3=?b1?b2 b5=4b1+3b2?3b4所以 a3=?a1?a2 a5=4a1+3a2?3a4小结向量b能由向量组A线性表示线性方程组Ax=b有解向量组B能由向量组A线性表示矩阵方程组AX=B有解向量组A与向量组B等价知识结构图n维向量向量组向量组与矩阵的对应向量组的线性组合向量组的线性表示向量组的等价判定定理及必要条件判定定理例：设证明向量b能由向量组a1,a2,a3线性表示，并求出表示式．解：向量b能由a1,a2,a3线性表示当且仅当R(A)=R(A,b)．因为R(A)=R(A,b)=2，所以向量b能由a1,a2,a3线性表示．