人大版微积分习题课市公开课金奖市赛课一等奖课件.pptxVIP

莫兴德广西大学数信学院Email:moxingde@gxu.edu.cn微积分第1页第1页

链接目录第一章函数第二章极限与连续第三章导数与微分第四章中值定理,导数应用第五章不定积分第六章定积分第七章无穷级数(不要求)第八章多元函数第九章微分方程复习第2页第2页

参考书[1]赵树嫄.微积分.中国人民出版社[2]同济大学.高等数学.高等教育出版社第3页第3页

第四章

习题课第4页第4页

洛必达法则Rolle定理Lagrange中值定理惯用泰勒公式Cauchy中值定理Taylor中值定理单调性,极值与最值,凹凸性,拐点,函数图形描绘;曲率;求根办法.导数应用一、主要内容第5页第5页

1、罗尔中值定理2、拉格朗日中值定理3、柯西中值定理4、洛必达法则关键:将其它类型未定式化为洛必达法则可处理类型.注意：洛必达法则使用条件.第6页第6页

5、泰勒中值定理惯用函数麦克劳林公式Fermat定理中值定理揭示了导数与函数之间关系，是导数应用理论基础，是利用导数研究函数性质有效工具。是沟通导数局部性质与函数在区间上整体性质主要桥梁。第7页第7页

6、导数应用(1)函数单调性鉴定法(2)函数极值及其求法极值必要条件、第一、第二充足条件求极值环节:(3)最大值、最小值问题(4)曲线凹凸与拐点(5)函数图形描绘(6)弧微分曲率曲率圆第8页第8页

例1解二、典型例题第9页第9页

这就验证了命题正确性.第10页第10页

*例2Darboux定理:证首先假定不妨设如右图所表示oyxab由假设知第11页第11页

由右方邻近，有由左侧邻近，有由Fermat定理,得另一方面，取介于之间任意数C为明确起见，不妨设引进辅助函数第12页第12页

由上述已证知例3证实方程在(0,1)内至少有一实根[分析]如令则符号不易判别不便使用介值定理用Rolle定理来证第13页第13页

证令则且故由Rolle定理知即在(0,1)内有一实根例4证满足Rolle定理条件第14页第14页

*例5解第15页第15页

例6解第16页第16页

例7第17页第17页

第18页第18页

例8证由介值定理,第19页第19页

（1）（2）注意到由（1）,（2）有（3）（4）（3）+（4）,得第20页第20页

例9问方程有几种实根解同时也是最大值分三种情况讨论第21页第21页

①由于方程有两个实根，分别位于②方程仅有一个实根，即③方程无实根①②③第22页第22页

*例10证（1）（2）第23页第23页

（1）–（2）,则有第24页第24页

*例11解第25页第25页

若两曲线满足题设条件,必在该点处含有相同一阶导数和二阶导数,于是有第26页第26页

解此方程组得故所求作抛物线方程为曲率圆方程为两曲线在点处曲率圆圆心为第27页第27页

例12解奇函数第28页第28页

第29页第29页

列表下列:第30页第30页

极大值拐点极小值第31页第31页

作图第32页第32页

*例13Rolle定理推广形式①证由Rolle定理知②第33页第33页

证一则由题设知故由①知而第34页第34页

证二若则结论显然成立下设不妨设有必存在最大值M即第35页第35页

故由Fermat定理知③证一类似于②证一，作变换证二作变换第36页第36页

证三若则结论显然成立下设不妨设有必存在最小值m即第37页第37页

故由Fermat定理知④证实与③类似第38页第38页

例14证不妨设由Lagrange定理，有第39页第39页

得*注这个结论其实就是Jensen不等式(n=2情况)其几何意义，以下图所表示第40页第40页

oxyAB弦AB方程则弦AB上相应于x0纵坐标为凹弧：曲线上点低于弦上相应点第41页第41页