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例析排列组合中的重复计算的产生及对策
无锡市洛社高级中学戎钢
学生在解排列组合的题目时,往往容易出现考虑不周全,漏解的情况。另外有些类型
的排列组合题目较容易出现重复计算的问题,而且此类问题较隐蔽,学生不容易发现。在
解题时,应做到既不重复遗漏,又能判断解题的正误,并能加以剖析。这样对于学生解题
能力的提高大有好处。
一、分步引起的重复计算
例1:从4台甲型机和5台乙型电视机中任意取出3台,其中至少有甲型和乙型机各1
台,则不同的取法有多少种?
【错解】先保证各1台,在从剩下的机子中任取一台。即分三步:第一步从甲型机中
取一台,有C1种取法;第二步从乙型机中取一台,有C1种取法;第三步从剩下的七台机
45
1111
子中取一台,有C种取法,根据乘法原理,共有CCC140种取法。
7457
【分析】设甲型机种有a、b两台机子,乙型机中有A、B两台机子,根据上述选法,
其中有一种取法可以是“先选a,再选A,再选b”,另外一种取法是“先选b,再选A,
再选a”。而很明显,上述两种取法是同一种结果,出现重复。
究其原因是本题使用的是分类计数原理(分步原理)。而分步必然有先有后,也就有
顺序,跟排列有关。本题中无论是取两台甲型机还是两台乙型机,对于这两台机而言,只
是一个组合,没有先后,因此重复了两遍。
21
【正解】根据结果分类,第一类:两台甲型机,有CC种取法;第二类:两台乙型
45
122112
机,有CC种取法,根据分类计数原理,共有CCCC70种取法。
454545
二、涉及到平均分组中的重复计算
例2:袋中有红、白、黄球各一个,每次任取一球,记下颜色后放回,当各种颜色均被
取到时结束,则取球结束时,一共取了五次的不同取法有多少种?
【错解】由题意,第五次一定是第三种颜色的球。前四次取到其他两种颜色的球。先
分步,第五次有C1种颜色的可能,再分类讨论前四次的情况,第一类:剩下的两种颜色
3
的球,一种颜色的取到三次,另外一种取到一次。分步完成,先选出一种颜色,被取到三
1313
次,有C种可能,然后这种颜色在前四次中被取到有C中情况,共有CC种情况;第
2424
1211213
二类,类似第一类,共有CC种情况,由分步原理共有C(CCCC)60种不
2432424
同的取法。
【剖析】本题中在分类时涉及到平均分组的问题。在第二类中两种颜色各取到两次的
情况,计数重复。比如假设第五次取到白色,C1选取的是红色,在四次取球中,C2中前
24
两次是红色,后两次是黄色,即红红黄黄白是其中一种情况;若C1选取的是黄色,在四
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