奥数中的巧数图形讲义及习题.docx

数学竞赛中常遇到数图形问题。这类问题一般都要先寻求规律，而后按照这个规律去数图形。数图形时要有次序、有条理，才能不遗漏、不重复。

因此，一般步骤应是：仔细观察、发现规律、应用规津。运用规律常能使解法简便。例1下面两根线段中各有多少条线段？

解（1）由一条基本线段构成的线段有：

AB、BC、CD、DE，共4条；

由两条基本线段构成的线段有：

AC、BD、CE，共3条；

由三条基本线段构成的线段有：

AD、BE，共2条；

由四条基本线段构成的线段只有AE1条。

因此共有线段：

4+3+2+1

=（4+1）×4÷2

=10（条）

（2）可以采用（1）同样的解法：由一条基本线段组成的线段有6条，

由两条基本线段组成的线段有5条，由三条基本线段组成的线段有4条，由四条基本线段组成的线段有3条，由五条基本线段组成的线段有2条，由六条基本线段组成的线段有1条，

共有线段：

6+5+4+3+2+1

=（6+1）×6÷2

=21（条）

答（1）中有10条线段。（2）中有21条线段。

这种先分类再排序的方法称为分类排序法。这样排序，不易遗漏和重复。

由以上例子可以推知，如果线段上有五个点，就构成了四条基本线段，总线段数为四个连续自然数的和：4+3+2+1。如果有n个点，线段总数为（n-1）+（n-2）+?+3+2+1=n×（n

-1）÷2（条）。找到了这个规律，我们就可以运用这个公式来解答这类问题。

例2在∠AOB（图6－2）内有8条从O点引出的射线，可组成各种大小不同的角一共有多少个？

解这问题类似于例1，

10×9÷2=45（个）

答图中有45个角。

解3数一数，图6－3一共有几个长方形？

分析可以按照顺序去数长方形的个数，也可以通过分析研究，找出数长方形的规律。长方形是由长和宽组成的，

图中共有3个长（横向线段）、3个宽（竖向线段），

解

3×3＝9（个）

答图中共有9个长方形。

这一类型的问题在后面还要专门讨论。

例4如图6－4。

如上图这样的形状，如果最底层有11个三角形，那么这堆小三角形共有多少个？

现在共有169个小三角形，按上图排列，那么最底层三角形有几个？

分析根据图示可以得到规律，底层与总数有“2→4，3→9，4→16”的关系。而22＝4，3

3=9，44＝16，就是：“底层的个数的平方正好等于总数”。所以可得：

下层有11个小三角形，共有

11×11=121（个）

因为13×13＝169，所以169个小三角形如上图排列，底层有13个小三角形。

练 习

线段AB上除两端外有49个点，问这条线段上共有多少条线段？

下图中共有多少个三角形？

3．把长2厘米、宽1厘米的长方形硬纸片按照下图一层层叠起来。

3．把长2厘米、宽1厘米的长方形硬纸片按照下图一层层叠起来。

如果叠5层，周长是（）厘米。

如果周长是120厘米，共有（）层。

知识要点： 数图形时我们要按照一定的顺序、有条理、有计划、有方法的去解答题目，可由单个图形数起，再数两个图形合成的图形，依此规律一个一个往下数。

｛例1｝数一数图中共有几条线段？

D

A B

C

这样想：数之前，先将每条线段写上字母，写好后，先数

AB这条线段上有4条小线段，再数两条合并成的有3条，再

数三条合并成的有2条，最后数四条合并成的有1条，

4+3+2+1=10条。同样CD这条线段上也有10条，和起来一共

有20条。

｛例2｝数一数图中共有几个小长方体？

这样想：从上面先数，第一排有2个小长方体，再数第二

排有4个小长方体，最后数第三排有6个小长方体，所以

2+4+6=12，有12个小长方体。

｛例3｝数一数图中共有几个三角形？

这样想：数之前，先将每个图形编号，编好后，先数单个三角形共10个。再数两个图形合成的三角形，按顺序两个

两个合并，共8个三角形。所以10+8=18，共18个三角形。

｛例4｝数一数图中共有几个三角形？

这样想：先数单个三角形共4个。再数两个三角形合成的

三角形，按顺序两个两个合并，共2个三角形。最后数由3

个小三角形组成的大三角形，有1个。所以4+2+1=7，共7

个三角形。

｛例5｝数一数图中共有几个三角形？

这样想：先数每个角上三角形共5个，再数由两个不靠着

的角和中间五边形合成的三角形，按顺序数共3个三角形，所以5+3=8，共8个三角形。

知识要点： 同学们，在数图形时，一定要按顺序仔细数，如果给图形编个号，这样数起来就更方便，不会重复，也不会遗漏。

｛例1｝数一数