函数幂级数展开式应用.pptx

1函数值的近似计算积分的近似计算欧拉(Euler)公式小结思考题作业求极限11.5函数的幂级数展开式的应用第11章无穷级数

2一、求极限有些未定式的极限可以将极限过程中的主要、例求解所以将sinx展开为x=0的幂级数.这种方法的优点是:次要成份表示得非常清楚.可以用幂级数方法求出.

3由此例可看出:这里,这个高阶无穷小不能与分子的第一项x抵消,但如果将sinx用x代换,这显然是错误的.在求极限时,的无穷小不能用其等价无穷小代换.为什么加、sinx与其等价无穷小x相差高阶无穷小减项它在极限中是起作用的.小也略去了,则相当于将这个起作用的高阶无穷

4二、函数值的近似计算用函数的幂级数展开式,常用方法1.若余项是交错级数,2.若不是交错级数,可以在展开式有效的区间内计算函数的近似值,而且可达到预先指定的精度要求.使之成为等比级数或其它易求和的级数,和.从而求出其则放大余和中的各项,则可用余和的首项来解决;

5解余和:例计算e的近似值,使其误差不超过10-5.

6用级数作近似计算时,这样估计误差,常将其余和放大为几何级数.因此计算量要小一些.在一般情况下,泰勒公式比用拉格朗日估计误差的精度更好,

7例解其误差不超过并估计误差.是交错级数所以

8三、积分的近似计算有些初等函数的原函数不能用初等函数故其定积分就不能用牛顿--莱布尼茨但如果这些函数在积分区间上能表示,公式计算.展开成幂级数,性质来计算这些定积分.则可利用幂级数逐项积分

9例解收敛的交错级数被积函数的原函数不能用初等函数表示.由于x=0是的可去间断点,故定义这样被积函数在[0,1]上连续.展开得

10第四项取前三项作为积分的近似值,得例

11复数项级数四、欧拉(Euler)公式为实常数或实函数.若则称级数收敛,且其和为复数项级数绝对收敛的概念若收敛,则绝对收敛,称复数项级数(1)绝对收敛.Euler(1707–1783)是瑞士数学家、物理学家

12三个基本展开式

13揭示了三角函数和复变量指数函数之间的欧拉(Euler)公式一种关系.因为又因为所以

14欧拉公式的证明求极限(求未定式的极限)五、小结积分的近似计算函数值的近似计算

15思考题计算解因为又所以,

16作业习题11.5(227页)