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高等代数考研复习

二次型

;第四章二次型;二次型矩阵与二次型原则型

1.1二次型及其矩阵

1)定义：设P是数域,系数在数域P上关于

二次齐次多项式

称为数域P上一个n元二次型.

2)二次型矩阵表示：令

;利用积和式可将二次型化为矩阵形式

其中，矩阵满足称它为二次型矩阵.

积和式为：

它在代数式与矩阵互化中起着主要作用！

;注意：假如但是那么A不是二次型矩阵.f矩阵为

1.2线性替换及矩阵协议

1)线性替换：设

令称为由到线性替换.

当时，称为非退化线性替换；当C是正交矩阵时

称为正交替换.

结论：非退化线性替换将二次型变为二次型.

;2)矩阵协议：设A、B为n阶矩阵，假如存在可逆矩阵C使得则称矩阵A与协议.

协议是一个等价关系，它含有三性.

协议性质：协议矩阵有相同秩；

协议矩阵行列式同号.

结论：二次型通过非退化线性替换得到新二次型矩阵与原二次型矩阵是协议.

1.3二次型原则型与规范形

1)二次型原则型定义：只含有平方项二次型

称为原则型.其中;中非零个数即为二次型秩.

定理：数域P上任意二次型都可通过非退化线性替换化为原则形.

换一个说法：数域P上任意一个对称矩阵都协议于一个对称矩阵.

注意：二次型原则型普通不唯一！;2)二次型规范形：复数域与实数域上二次型原则型称为规范形.

a)复数域上二次型规范形：复数域上任意一个二次型都可通过非退化替换化为规范形

其中且规范形唯一.

换为矩阵说法：复数域上任意一个n阶对称矩阵A都协议于唯一n阶对角矩阵

复数域上两个对称矩阵协议充足必要条件是这两个矩阵秩相等.;b)实数域上二次型规范形(惯性定理)：实数域上任意一个二次型都可通过非退化替换化为规范形

其中，正平方个数p称为二次型f正惯性指数，负平方项个数

称为f负惯性指数，称为符合差，且

p、q有二次型唯一拟定.

用矩阵语言描述为：实数域上任意一个对称矩阵A都合

同于唯一n阶对角矩阵;

注意：实数域上两个对称矩阵协议充足必要条件是这两个矩阵有相同秩与正惯性指数.

;1.4化二次型为原则型办法

a)配办法；

b)初等变换法；

设是对称矩阵，故存在可逆矩阵使

由可逆知，存在初等矩阵使得

于是;这样，将二次型化为原则形

;单位矩阵就成了相应可逆线性变换矩阵了，即;c)正交变换法.;题型分析:(1)化二次型为原则型；

(2)矩阵协议应用；

(3)惯性定理应用.;例1用配办法化二次型为原则形

(1)

(2)

例2将化为原则型.

例3用正交变换化二次型为原则形

办法：对二次型做正交替换其中T为正交矩阵，得原则型

;这里是矩阵A特性值..

例4已知通过正交变换化为求a及所做正交变换.

例5已知秩为2，(1)求a(2)用正交变换将f化为原则型

(3)求方程解.;例6设实二次型

(1)写出f矩阵.

(2)证实：f秩等于矩阵

秩.

例7证实：是一个二次型，

并求它矩阵.;(2)矩阵协议应用

例1证实：秩等于r对称矩阵能够表示成r个秩等于1对称矩阵之和.

例2设A是n阶是对称矩阵，A特性值是，求B特性值.

例3反对称矩阵性质

(1)A是反对称矩阵充足必要条件是：对任意n维向量X都有

(2)A是反对称矩阵，则A特性值只能为零;和纯虚数.

(3)奇数阶反对称矩阵一定不可逆.

(4)证实：任意反对称矩阵一定协议于矩阵

;(3)惯性定理应用

例1证实：一个实二次型能够分解为两个实系数一次齐次多项式乘积充足必要条件是：它