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高中数学解题实战十法
一、了解十种方法
1、配方法
2、 换元法
3、 待定系数法
4、 定义法
5、 数学归纳法
6、 参数法
7、 反证法
8、 分析与综合法
9、 特殊与一般法
10、 类比与归纳法
二、实战举例讲解
一、配方法
配方法是对数学式子进行一种定向变形(配成“完全平方”)的技巧,通过配方找到已知和未知的联系,从而化繁为简。何时配方,需要我们适当预测,并且合理运用“裂项”与“添项”、“配”与“凑”的技巧,从而完成配方。有时也将其称为“凑配法”。
最常见的配方是进行恒等变形,使数学式子出现完全平方。它主要适用于:已知或者未知中含有二次方程、二次不等式、二次函数、二次代数式的讨论与求解,或者缺xy项的二次曲线的平移变换等问题。
配方法使用的最基本的配方依据是二项完全平方公式(a+b)2=a2+2ab+b2,将这个公式灵活运用,可得到各种基本配方形式,如:
a2+b2=(a+b)2-2ab=(a-b)2+2ab;
3b
3
a2+ab+b2=(a+b)2-ab=(a-b)2+3ab=(a+2)2+(2
1
b)2;
a2+b2+c2+ab+bc+ca=2[(a+b)2+(b+c)2+(c+a)2]
a2+b2+c2=(a+b+c)2-2(ab+bc+ca)=(a+b-c)2-2(ab-bc-ca)=?结合其它数学知识和性质,相应有另外的一些配方形式,如:
1+sin2α=1+2sinαcosα=(sinα+cosα)2;
1 1 1
2x2+ =(x+
2
x
)2-2=(x- )2+2;??等等。
x x
思考题:
在正项等比数列{a }中,a ?a +2a ?a +a ?a =25,则a +a = 。
n 1 5 3 5 3 7 3 5
方程x2+y2-4kx-2y+5k=0表示圆的充要条件是 。
A. 1k1 B.k1或k1 C.k∈R D.k=1或k=1
4 4 4
已知sin4α+cos4α=1,则sinα+cosα的值为 。
A.1 B. -1 C.1或-1 D.0
函数y=log
1
2
(-2x2+5x+3)的单调递增区间是 。
A.(-∞, 5] B. [5,+∞) C. (-1,5] D.[5,3)
4 4 2 4 4
已知方程x2+(a-2)x+a-1=0的两根x 、x,则点P(x ,x)在圆x2+y2=4上,则
1 2 1 2
实数a= 。
【简解】1小题:利用等比数列性质a a =a
m?p m?p m
a )2易求。答案是:5。
5
2,将已知等式左边后配方(a +
3
2小题:配方成圆的标准方程形式(x-a)2+(y-b)2=r2,解r20即可,选B。
二、换元法
解数学题时,把某个式子看成一个整体,用一个变量去代替它,从而使问题得到简化,这叫换元法。换元的实质是转化,关键是构造元和设元,理论依据是等量代换,目的是变换研究对象,将问题移至新对象的知识背景中去研究,从而使非标准型问题标准化、复杂问题简单化,变得容易处理。
换元法又称辅助元素法、变量代换法。通过引进新的变量,可以把分散的条件联系起来,隐含的条件显露出来,或者把条件与结论联系起来。或者变为熟悉的形式,把复杂的计算和推证简化。
它可以化高次为低次、化分式为整式、化无理式为有理式、化超越式为代数式,在研究方程、不等式、函数、数列、三角等问题中有广泛的应用。
换元的方法有:局部换元、三角换元、均值换元等。局部换元又称整体换元,是在已知或者未知中,某个代数式几次出现,而用一个字母来代替它从而简化问题,当然有时候要通
过变形才能发现。例如解不等式:4x+2x-2≥0,先变形为设2x=t(t0),而变为熟悉的一元二次不等式求解和指数方程的问题。
三角换元,应用于去根号,或者变换为三角形式易求时,主要利用已知代数式中与三角
x1?x
x
1?x
?
的值域时,易发现x∈[0,1],设x
=sin2α ,α∈[0,2],问题变成了熟悉的求三角函数值域。为什么会想到如此设,其中
主要应该是发现值域的联系,又有去根号的需要。如变量x、y适合条件x2+y2=r2(r0)
时,则可作三角代换x=rcosθ、y=rsinθ化为三角问题。
S S
均值换元,如遇到x+y=S形式时,设x=2
+t,y=2
-t等等。
我们使用换元法时,要
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