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高中数学知识点总结
一、集合与命题逻辑
对于集合,一定要抓住集合的代表元素,及元素的“确定性、互异性、无序性”。
如:集合A??x|y?lgx?,B??y|y?lgx?,C??(x,y)|y?lgx?,A、B、C
中元素各表示什么?
进行集合的交、并、补运算时,不要忘记集合本身和空集?的特殊情况。
注重借助于数轴和文氏图解集合问题。
空集是一切集合的子集,是一切非空集合的真子集。
如:集合A??x|x2?2x?3?0?,B??x|ax?1?
若B?A,则实数a的值构成的集合为
(答:??1,0,1?)
? ?
3? ?
3
注意下列性质:
? ?
集合a,a
1
,??,a
2 n
的所有子集的个数是2n;
若A?B?A?B?A,A?B?B;
你会用补集思想解决问题吗?(排除法、间接法)
如:已知关于x的不等式
的取值范围。
ax?5?0的解集为M,若3?M且5?M,求实数ax2?a
(∵3?M,∴a·3?5?0
?? 3?∵5
?
? 3?
32?a
a·5?5?0
?a??1,5????9,25?)
52?a
可以判断真假的语句叫做命题,逻辑连接词有“或”(?),“且”(?)和
“非”(?).
若p?q为真,当且仅当p、q均为真
若p?q为真,当且仅当p、q至少有一个为真若?p为真,当且仅当p为假
命题的四种形式及其相互关系是什么?
(互为逆否关系的命题是等价命题。)
原命题与逆否命题同真、同假;逆命题与否命题同真同假。注意命题的否定与否命题的区别
二、函数及其性质
函数的三要素是什么?如何比较两个函数是否相同?
(定义域、对应法则、值域)
x?
x?4?x?lg?x?3?2
例:函数y?
的定义域是
(答:?0,2???2,3???3,4?)
如何求复合函数的定义域?
如:函数f(x)的定义域是?a,b?,b??a?0,则函数F(x)?f(x)?f(?x)的定
义域是 。
(答:?a,?a?)
?求一个函数的解析式或一个函数的反函数时,注明函数的定义域了吗?
?
?
如:f x?1 ?ex?x,求f(x).
令t? x?1,则t?0
∴x?t2?1
∴f(t)?et2?1?t2?1
∴f(x)?ex2?1?x2?1?x?0?
反函数存在的条件是什么?
(一一对应函数)
求反函数的步骤掌握了吗?
(①反解x;②互换x、y;③注明定义域)
??1?x
?x?0?
如:求函数f(x)??
? ?的反函数
???x2
x?0
??x?1 ?x?1?
?x?(答:f?1(x)???
?x
?
?x?0?)
反函数的性质有哪些?
①互为反函数的图象关于直线y=x对称;
②保存了原来函数的单调性、奇函数性;
③设y?f(x)的定义域为A,值域为C,a?A,b?C,则f(a)=b?f?1(b)?a
?f?1?f(a)??f?1(b)?a,f?f?1(b)??f(a)?b
如何用定义证明函数的单调性?
(取值、作差、判正负)
如何判断复合函数的单调性?
(y?f(u),u??(x),则y?f??(x)?
(外层)(内层)
?当内、外层函数单调性相同时f??(x)?为增函数,否则f??(x)?为减函数。)
?
如:求y?log
1
2
?x2
2x?的单调区间
(设u??x2?2x,由u?0则0?x?2
且log u?,u???x?1?2
1
2
?1,如图:
u
u
O
1
2
x
当x?(0,1]时,u?,又log1u?,∴y?
2
当x?[1,2)时,u?,又log
1
2
∴??)
u?,∴y?
如何利用导数判断函数的单调性?
在区间?a,b?内,若总有f(x)?0则f(x)为增函数。(在个别点上导数等于
零,不影响函数的单调性),反之也对,若f(x)?0呢?
如:已知a?0,函数f(x)?x3?ax在?1,???上是单调增函数,则a的最大
值是( )
A.0
B.1 C.2 D.3
?
(令f(x)?3x2?a?3?x?
?
a?? a?
??x? ??03?? 3?
a3则x?? a或x?
a
3
3
a3由已知f(x)在[1,??)
a
3
∴a的最大
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