新工科数学基础三 线性代数及Python实现 课件 第1章 行列式2.ppt

n元一次方程组行列式应用n元齐次线性方程组n元齐次线性方程组只有零解n元齐次线性方程组有非零解*****************行列式性质回顾：n阶行列式：n阶行列式一共有个元素，n!项，n阶行列式可写成n=1时，注意区别绝对值符号若有一行或一列中的元素全为0，则该行列式为0每一项为不同行不同列的n个元素的乘积定理2：n阶行列式：行列式的通项可以为不在同一行同一列的n个元素的乘积。n元一次方程组回顾例1用克拉默法则求解线性方程组是否有方法可以简化行列式的计算？研究行列式具有哪些性质？转置行列式将行列式的行和列交换后得到的行列式称为该行列式的转置行列式行列式中行与列具有同等的地位,行列式的性质凡是对行成立的对列也同样成立.性质2交换行列式的两行（列），行列式变号。推论：若行列式有两行（列）元素相同，则此行列式为零。性质3用数k乘行列式D的一行（列），等于以数k乘行列式D。推论行列式某一行（列）中所有元素的公因子都可提到行列式外面。推论若行列式有两行元素成比例，则此行列式为零。性质4行列式D的一行每一个元素都是两数之和，则D可以写为两个行列式之和。性质5把行列式一行（列）的倍数加到另一行（列），行列式不变。行列式计算按照定义，需要做n!次的乘法运算，计算量很大。实际计算时，一般用性质化简。定理：n阶行列式等于其任一行的各元素与对应代数余子式的乘积之和。引理一个n阶行列式，如果其中第行所有元素除外都为零，那么这行列式等于与它的代数余子式的乘积，即．又从而下面再讨论一般情形.请思考交换多少次可以到第一行第一列？分析当位于第1行第1列时,定理：n阶行列式等于其任一行的各元素与对应代数余子式的乘积之和。性质行列式D的一行每一个元素都是两数之和，则D可以写为两个行列式之和。推论行列式任一行（列）的元素与另一行（列）的对应元素的代数余子式乘积之和等于零，即练习：P30课后题9定理（拉普拉斯展开定理）：n阶行列式D中，取定某k个行，则在这k个行中所有k阶子式分别与它的代数余子的乘积之和等于D。说明：在计算行列式时，常常按一行或一列展开。若在行列式D中某些行或列含多个零元，则按这些行或列展开计算行列式更方便此定理称为k个行展开定理。若将行变成列，则行列式按k个列展开。例计算行列式解降阶法，展开法n阶行列式的零元较多时，按行或列展开。化零降阶法说明：某行或列的元素偏大时，可利用性质将他们先变小化零降阶法一般从绝对值最小的整数所在的行或列开始适用于非零元较多的低阶行列式三角形法说明：利用三角行列式的性质若行或列的所有元素之和相等，可提取这个和数，并将某一行或列变成1行列式中行列较多元素相同升阶法加边法，镶边法构造n+1阶行列式，使其与原n阶行列式相等说明：递推法一般用于元素规律出现且难计算的行列式说明：归纳法一般用于元素规律出现难计算的行列式说明：范德蒙法只适用于范德蒙行列式说明：反对称法证明：奇数阶反对称行列式为零。*****************