高中数学人教版必修5全套教案11111.docx

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1、正弦定理：在一个三角形中，各边和它所对角的正弦的比相等，即

a

sinA

? b

sinB

? c

sinC

一般地，已知三角形的某些边和角，求其他的边和角的过程叫作解三角形。例1．在?ABC中，已知A?32.00，B?81.80，a?42.9cm，解三角形。

解：根据三角形内角和定理，

C?1800?(A?B)

?1800?(32.00?81.80)

?66.20；

根据正弦定理，

b?asinB?42.9sin81.80?80.1(cm)；

sinA sin32.00

根据正弦定理，

c?asinC?42.9sin66.20?74.1(cm).sinA sin32.00

例2．在?ABC中，已知a?20cm，b?28cm，A?400，解三角形（角度精确到10，边长精确到1cm）。

2、余弦定理：三角形中任何一边的平方等于其他两边的平方的和减去这两边与它们的夹角的余弦的积的两倍。即 a2?b2?c2?2bccosA

b2?a2?c2?2accosB

c2?a2?b2?2abcosC

从余弦定理，又可得到以下推论：

bccosA?b2?c2?a2

bc

2

accosB?a2?c2?b2

ac

2

bacosC?b2?a2?c2

ba

22

2

3例1．在?ABC中，已知a?2

3

⑴解：∵b2?a2?c2?2accosB

，c? 6?

，B?600，求b及A

=(2 3)2?( 6? 2)2?2?2 3?( 6? 2)cos450

=12?( 6? 2)2?4 3( 3?1)

=8

∴b?2 2.

求A可以利用余弦定理，也可以利用正弦定理：评述：解法二应注意确定A的取值范围。

例2．在?ABC中，已知a?134.6cm，b?87.8cm，c?161.7cm，解三角形

[随堂练习1]

在?ABC中，已知a?80，b?100，?A?450，试判断此三角形的解的情况。

在?ABC中，若a?1，c?

1，?C?400，则符合题意的b的值有 个。

2

在?ABC中，a?xcm，b?2cm，?B?450，如果利用正弦定理解三角形有两解，求

x的取值范围。

2（答案：（1）有两解；（2）0；（3）2?x?2 ）

2

例2．在?ABC中，已知a?7，b?5，c?3，判断?ABC的类型。分析：由余弦定理可知

a2?b2?c2?A是直角??ABC是直角三角形a2?b2?c2?A是钝角??ABC是钝角三角形a2?b2?c2?A是锐角??ABC是锐角三角形

（注意：A是锐角??ABC是锐角三角形）

解： 72?52?32，即a2?b2?c2，

∴?ABC是钝角三角形。

[随堂练习2]

在?ABC中，已知sinA:sinB:sinC?1:2:3，判断?ABC的类型。

已知?ABC满足条件acosA?bcosB，判断?ABC的类型。

（答案：（1）?ABC是钝角三角形；（2）?ABC是等腰或直角三角形）

3 a?b?c

例3．在?ABC中，A?600，b?1，面积为

2

，求sinA?sinB?sinC的值

分析：可利用三角形面积定理S?1absinC?1acsinB?1bcsinA以及正弦定理

2 2 2

a

sinA

? b

sinB

? c

sinC

? a?b?c

sinA?sinB?sinC

解：由S?1bcsinA? 3得c?2，

2 2

3则a2?b2?c2?2bccosA=3，即a? ，

3

从而 a?b?c

? a ?2

sinA?sinB?sinC sinA

Ⅲ.课堂练习

3在?ABC中，若a?55，b?16，且此三角形的面积S?220

3

，求角C

在?ABC中，其三边分别为a、b、c，且三角形的面积S?a2?b2?c2

4

，求角C

（答案：（1）600或1200；（2）450）

课后作业

在?ABC中，已知b?4，c?10，B?300，试判断此三角形的解的情况。

设x、x+1、