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高中数学选修4

高中数学选修4—4(坐标系与参数方程)知识点复习总结

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坐标系与参数方程 知识点

平面直角坐标系中的坐标伸缩变换

?y? ?? y设点P(x,y)是平面直角坐标系中的任意一点,在变换?:?x

?y? ?? y

?

(??0)

(??0)

的作用下,

点P(x,y)对应到点P?(x?,y?),称?为平面直角坐标系中的坐标伸缩变换,简称伸缩变换.

极坐标系的概念(1)极坐标系

如图所示,在平面内取一个定点O,叫做极点,自极点O引一条射线Ox,叫做极轴;再选定一个长度单位,一个角度单位(通常取弧度)及其正方向(通常取逆时针方向),这样就建立了一个极坐标系.

注:极坐标系以角这一平面图形为几何背景,而平面直角坐标系以互相垂直的两条数轴为几何背景;平面直角坐标系内的点与坐标能建立一一对应的关系,而极坐标系则不可.但极坐标系和平面直角坐标系都是平面坐标系.

(2)极坐标

设M是平面内一点,极点O与点M的距离|OM|叫做点M的极径,记为?;以极轴Ox为始边,射线OM为终边的角?xOM叫做点M的极角,记为?.有序数对(?,?)叫做点M的极坐标,记作M(?,?).

一般地,不作特殊说明时,我们认为??0,?可取任意实数.

特别地,当点M在极点时,它的极坐标为(0,的极坐标有无数种表示.

?)(?∈R).和直角坐标不同,平面内一个点

如果规定??0,0???2?,那么除极点外,平面内的点可用唯一的极坐标(?,?)表示;

同时,极坐标(?,?)表示的点也是唯一确定的.

极坐标和直角坐标的互化

曲线

曲线

图形

极坐标方程

圆心在极点,半径

为r的圆

??r(0???2?)

圆心为(r,0),半径

??2rcos?(? ??? )

?

?

为r的圆

2

2

圆心为(r,?),半径

2

?2rsin?(0????)

为r的圆

互化背景:把直角坐标系的原点作为极点,x轴的正半轴作为极轴,并在两种坐标系中取相同的长度单位,如图所示:

互化公式:设M是坐标平面内任意一点,它的直角坐标是(x,y),极坐标是

(?,?)(??0),于是极坐标与直角坐标的互化公式如表:

点

点M

直角坐标(x,y)

极坐标(?,?)

互化公式

?x??cos?

?

?y??sin?

?2?x2?y2

tan?? (x?0)

x

y

在一般情况下,由tan?确定角时,可根据点M所在的象限最小正角.4.常见曲线的极坐标方程

过极点

过极点,倾斜角为

?的直线

(1)???(??R)或?????(??R)

(2)???(??0)和?????(??0)

过点(a,0),与极轴

?cos??a(? ??? )

?

?

垂直的直线

2

2

过点(a,?),与极

2

轴平行的直线

?sin??a(0????)

注 : 由 于 平 面 上 点 的 极 坐 标 的 表 示 形 式 不 唯 一 , 即

(?,?),(?,2???),(??,???),(??,????),都表示同一点的坐标,这与点的直角坐标的唯一性明显不同.所以对于曲线上的点的极坐标的多种表示形式,只要求至少有一个能满足极坐

标方程即可.例如对于极坐标方程 ???, 点 M(?,?) 可以表示为

(?,?

?2?)或(?,?

?2?)或(-?

,5?

)等多种形式,其中,只有(?

4 4

, )? 的极坐标满足方程

, )

4 4 4 4 4 4 4 4

???.

二、参数方程

参数方程的概念

一般地,在平面直角坐标系中,如果曲线上任意一点的坐标x,y都是某个变数t的函数

??x?f(t)①,并且对于t的每一个允许值,由方程组①所确定的点M(x,y)都在这条曲线上,

?

?y?g(t)

那么方程①就叫做这条曲线的参数方程,联系变数x,y的变数t叫做参变数,简称参数,相对于参数方程而言,直接给出点的坐标间关系的方程叫做普通方程.

参数方程和普通方程的互化

曲线的参数方程和普通方程是曲线方程的不同形式,一般地可以通过消去参数而从参数方程得到普通方程.

如果知道变数x,y中的一个与参数t的关系,例如x?f(t),把它代入普通方程,求出