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专题06分式与分式方程
一、分式
分式概念
形如eq\f(A,B)(A、B是整式,且B中含有字母,B≠0)的式子叫做分式.
有意义的
条件
因为0不能做除数,所以在分式eq\f(A,B)中,若B≠0,则分式eq\f(A,B)有意义;若B=0,那么分式eq\f(A,B)没有意义.
值为0
在分式eq\f(A,B)中,当A=0且B≠0时,分式eq\f(A,B)的值为0
分式的基本性质
分式的分子与分母同乘(或除以)一个不等于零的整式,分式的值不变.用式子表示是:eq\f(A,B)=eq\f(A×M,B×M),eq\f(A,B)=eq\f(A÷M,B÷M)(其中M是不等于0的整式)
约分
将分子、分母中的公因式约去,叫做分式的约分
通分
将几个异分母的分式化为同分母的分式,这种变形叫分式的通分
二、分式运算
分
式
运
算
分式加减
同分母的分式相加减,分母不变,把分子相加减,即eq\f(a,c)±eq\f(b,c)=eq\f(a±b,c).异分母的分式相加减,先通分,变为同分母的分式,然后相加减,即eq\f(a,b)±eq\f(c,d)=eq\f(ad±bc,bd).
分式乘除
分式乘以分式,用分子的积做积的分子,分母的积做积的分母,即eq\f(a,b)·eq\f(c,d)=eq\f(ac,bd).分式除以分
式,把除式的分子、分母颠倒位置后,与被除式相乘,即eq\f(a,b)÷eq\f(c,d)=eq\f(a,b)·eq\f(d,c)=eq\f(ad,bc)
分式的混合运算
在分式的加减乘除混合运算中,应先算乘除,进行约分化简后,再进行加减运算,遇到有括号的,先算括号里面的.运算结果必须是最简分式或整式.
三、分式方程
分
式
方
程
定义
分母中含有未知数的方程叫做分式方程
解法
(1)解分式方程的基本思路:将分式方程化为整式方程.
(2)常用方法:①去分母;②换元法.
(3)去分母法的步骤:①去分母,将分式方程转化为整式方程;②解所得的整式方程;③验根作答.
(4)换元法的步骤:①设辅助未知数;②得到关于辅助未知数的新方程,求出辅助未知数的值;③把辅助未知数的值代回原式中,求出原来未知数的值;④检验作答.
(5)解分式方程时,在把分式方程转化为整式方程时,有时可能产生不适合原方程的根(我们把这个根叫做方程的增根),所以解分式方程时要验根.
运用
解分式方程应用题的关键是把握题意,找准等量关系,列出分式方程,最后要验根
【考点1】分式的概念及有意义的条件
【例1】(2022·湖南怀化)代数式SKIPIF10x,SKIPIF10,SKIPIF10,x2﹣SKIPIF10,SKIPIF10,SKIPIF10中,属于分式的有()
A.2个 B.3个 C.4个 D.5个
【答案】B
【分析】看分母中是否含有字母,如果含有字母则是分式,如果不含字母则不是,根据此依据逐个判断即可.
【详解】分母中含有字母的是SKIPIF10,SKIPIF10,SKIPIF10,∴分式有3个,故选:B.
【例2】分式SKIPIF10的值为零,则x的值为………………()
A.2B.﹣2C.±2D.任意实数
【答案】A
【解析】本题错解考虑到了分子SKIPIF10-2为零,而忽视了分式有意义的条件——分母x+2不为零.分式的值为零的条件应是分子为零且分母不为零,∴由SKIPIF10-2=0,解得x=±2,又由x+2≠0,得x≠﹣2,∴x=2.还有分式无意义的条件是分母为零.
分式有意义、无意义和值为零的条件
(1)若分式eq\f(A,B)有意义,则B≠0
(2)若分式eq\f(A,B)无意义,则B=0
(3)若分式eq\f(A,B)=0,则A=0且B≠0
1.(2022·四川凉山)分式SKIPIF10有意义的条件是(???????)
A.x=-3 B.x≠-3 C.x≠3 D.x≠0
【答案】B
【分析】根据分式的分母不能为0即可得.
【详解】解:由分式的分母不能为0得:SKIPIF10,解得SKIPIF10,
即分式SKIPIF10有意义的条件是SKIPIF
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