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第五章四边形第一节平行四边形与多边形

考点特训营考点梳理平行四边形的概念及性质平行四边形的判定多边形多边形的概念多边形的性质正多边形平行四边形与多边形

重难点突破（1）判定平行四边形应从边、角、对角线三方面考虑：①若已知一组对边相等，可以证这组对边平行或者另外一组对边相等；②若已知一组对边平行，可以证明这组对边相等或者另外一组对边平行；③若已知一组对角相等，可以证另外一组对角相等；若已知一条对角线平分另一条对角线，可以证对角线互相平分.

（2）利用平行四边形的性质进行相关计算的方法：①利用平行四边形的性质，通过角度或线段之间的等量转化进行相应的计算；②找出所求线段或角所在的三角形.若三角形为直角三角形，通过直角三角形的性质或勾股定理求解；若三角形为任意三角形，可以利用某两个三角形全等或相似的性质进行求解.

例1（2014铁岭）如图，ABCD中，∠ABC和∠BCD的平分线交于AD边上一点E，且BE=4，CE=3，则AB的长是（）A.52B.3C.4D.5A

【思路点拨】根据平行四边形的性质可证△BEC是直角三角形，利用勾股定理可求出BC的长，利用角平分线的性质以及平行线的性质得出∠ABE=∠AEB，∠DEC=∠DCE，进而利用平行四边形对边相等得出答案．

【解析】∵四边形ABCD是平行四边形，∠ABC、∠BCD的角平分线的交点E落在AD边上，∴∠BEC=×180°＝90°，∵BE=4，CE=3，∴BC＝＝5;∵∠ABE=∠EBC，∠AEB=∠EBC，∠DCE=∠ECB，∠DEC=∠ECB，∴∠ABE=∠AEB，∠DEC=∠DCE，∴AB=AE，DE=DC，由题意可得：AB=CD，AD=BC，∴AB=AE=.故选A．

例2（2014郴州）如图，已知四边形ABCD是平行四边形，点E、B、D、F在同一直线上，且BE=DF．求证：AE=CF．

【思路点拨】根据平行四边形的对边相等可得AB=CD，AB∥CD，再根据两直线平行，内错角相等可得∠ABD=∠CDB，然后求出∠ABE=∠CDF，再利用“边角边”证明△ABE和△CDF全等，根据全等三角形对应边相等证明即可．【自主解答】

证明：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB=CD，AB∥CD，∴∠ABD=∠CDB，∴180°－∠ABD=180°－∠CDB，即∠ABE=∠CDF，在△ABE和△CDF中，AB=CD∠ABE=∠CDFBE=DF,∴△ABE≌△CDF(SAS),∴AE=CF.

命题点多边形的性质计算（重点）例3（2014自贡4分）一个多边形的内角和比它的外角和的3倍少180°，则它的边数是______.7【思路点拨】设这个多边形边数为n，其外角和为360°，内角和为（n-2）·180°，根据等量关系列方程求解即可.

【方法指导】多边形的性质计算题大多是求这个多边形的边数，一定紧紧抓住“任意一个多边形的外角和为360°”这一性质，再结合n边形的内角和公式（n-2）·180°（n≥3）即可求解.【解析】设这个多边形的边数为n，则n边形的内角和为（n-2）×180°，其外角和为360°，由题意列得方程为(n-2)×180°＝3×360°-180°，解得n＝7，则这个多边形的边数是7