高中文科数学一轮复习——角恒等变形.docx

第六章 三角恒等变形

第一节 同角三角函数的基本关系

A组

已知sinα＝5 sin(α－β)＝－10

α、β均为锐角，则β等于 ．

5， 10，

π π 3 10

解析：∵α、β均为锐角，∴－2α－β2，∴cos(α－β)＝ 1－sin2(α－β)＝10.

∵sinα＝5，∴cosα＝ 1－( 5 2 5.

5 5)2＝5

.2∴sinβ＝sin[α－(α－β)]＝sinαcos(α－β)－cosαsin(α－β)＝2

.

2

π π π

∵0β2，∴β＝4.答案：4

已知0απβπ，cosα 3

sin(α＋β) 3 cosβ的值为 ．

2

解析：∵0απ π

＝5， ＝－5，则

βπ πα＋β3π.∴sinα 4

＝

＝

cos(α＋β) 4

2，2

，∴2 2 5，

＝－5，

∴cosβ＝cos[(α＋β)－α]＝cos(α＋β)cosα＋sin(α＋β)sinα＝(－4) 3

(－3)

4 24.答

24

案：－25

5×5＋

5×5＝－25

如果tanα、tanβ是方程x2－3x－3＝0的两根，则sin(α＋β)＝ .

cos(α－β)

sin(α＋β) sinαcosβ＋cosαsinβ

解析：tanα＋tanβ＝3，tanαtanβ＝－3，则 ＝

cos(α－β) cosαcosβ＋sinαsinβ

3tanα＋tanβ 3 3 3

3

β 1＝1＋tanαtan

β 1

–＝－2.答案：－2

4．(2008年高考山东卷改编)已知cos(α π＋sinα 4 3，则sin(α 7π的值是 ．

－6) ＝5 ＋6)

解析：由已知得

3 1 4

cosα α＋sinα 3

1cosα＋3sinα 4

2 ＋2sin

＝5 ，即2 2

＝5，

得sin(α π 4 sin(α 7π)＝－sin(α π 4. 4

＋

＋

＋6)＝5， ＋6 6)＝－5答案：－5

12 125．(原创题)定义运算a b＝a2－ab－b2，则sinπ π＝ .

12 12

π π π π π π π π 1 π π

解析：sin12 12＝sin212－sin12cos12－cos2 ＝－(cos212－sin2 )－2×2sin12cos12

12 12

π 1 π 1＋2 3 1＋2 3

＝－cos6－2sin6＝－ 4 .答案：－ 4

已知α∈π

π)，且

α α 6.

(2， sin2＋cos2＝2

求cosα的值；(2)若sin(α－β) 3 β∈π

π)，求cosβ的值．

＝－5， (2，

α α 6 1

解：(1)因为sin2＋cos2＝2，两边同时平方得sinα＝2.

π 3

又2απ.所以cosα＝－2.

π π π π π

因为2απ，2βπ，所以－π－β－2，故－2α－β2.

又sin(α－β) 3 cos(α－β) 4.

＝－5，得 ＝5

cosβ＝cos[α－(α－β)]＝cosαcos(α－β)＋sinαsin(α－β)

3 4 1 3 4 3＋3

＝－2×5＋2×(－5)＝－ 10 .

B组

cos2α 1＋tanα

1＋sin2

－tan

的值为 ．

α1 α

cos2α 1＋tanα cos2α－sin2α1＋tanα

解析： · ＝ 2·

1＋sin2α1－tanα (sinα＋cosα)1－tanα

cosα－sinα1＋tanα 1－tanα1＋tanα

＝ · ＝ · ＝1.sinα＋cosα1－tanα 1＋tanα1－tanα

π 3 sin2x－2sin2x

已知cos(4＋x)＝5，则

1－tanx

的值为 ．

π 3 3

解析：∵cos(4＋x)＝5，∴cosx－sinx＝5 2，

18 7

sin2x－2sin2x 2sinx(cosx－sinx) 7

∴1－sin2x＝25，sin2x＝25，∴

1－tanx ＝

cosx－sinxcosx

＝sin2x＝25.

已知cos(α

π π

＝sin(α－

，则tanα＝ .

＋3) 3)

π π π 1 3 π

解析：cos(α＋3)＝cosαcos3－sinαsin3＝2cosα－2

π π 1 3

sinα，sin(α－3)

＝sinαcos3－cosαsin3＝2sinα－2cosα，

由已知得：1 3)sinα＝1 3)cosα，tanα＝1.

(2＋2 (2＋2

设α∈

π 3π

，β∈(0

π，cos(α

π 3 3π β) 5

sin(α＋β)＝